সৃজনশীলঃ ‘f(x)=x2−4x+5B|a2bcca+c2a2+abb2caabb2+bcc2|…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২২ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$f\left(x\right)=x^2-4x+5$

সুতরাং ম্যাট্রিক্সের বহুপদী হবে, $f\left(A\right)=A^2-4A+5I$ (যেখানে $I$ হলো ৩য় ক্রমের অভেদক ম্যাট্রিক্স $I_3$)

প্রথমে $A^2$ নির্ণয় করি:

$A^2=A\cdot A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 1& 2\\ 2& 2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 1& 2\\ 2& 2& 1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}(1\cdot 1+2\cdot 2+2\cdot 2)& (1\cdot 2+2\cdot 1+2\cdot 2)& (1\cdot 2+2\cdot 2+2\cdot 1)\\ (2\cdot 1+1\cdot 2+2\cdot 2)& (2\cdot 2+1\cdot 1+2\cdot 2)& (2\cdot 2+1\cdot 2+2\cdot 1)\\ (2\cdot 1+2\cdot 2+1\cdot 2)& (2\cdot 2+2\cdot 1+1\cdot 2)& (2\cdot 2+2\cdot 2+1\cdot 1)\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}1+4+4& 2+2+4& 2+4+2\\ 2+2+4& 4+1+4& 4+2+2\\ 2+4+2& 4+2+2& 4+4+1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}9& 8& 8\\ 8& 9& 8\\ 8& 8& 9\end{array}\right]$

এখন $f\left(A\right)$ এর মান বের করি:

$f\left(A\right)=\left[\begin{array}{ccc}9& 8& 8\\ 8& 9& 8\\ 8& 8& 9\end{array}\right]-4\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 1& 2\\ 2& 2& 1\end{array}\right]+5\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}9& 8& 8\\ 8& 9& 8\\ 8& 8& 9\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}4& 8& 8\\ 8& 4& 8\\ 8& 8& 4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& 5& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right]$

অনুরূপ ভুক্তিগুলো যোগ-বিয়োগ করে পাই:

$=\left[\begin{array}{ccc}9-4+5& 8-8+0& 8-8+0\\ 8-8+0& 9-4+5& 8-8+0\\ 8-8+0& 8-8+0& 9-4+5\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}10& 0& 0\\ 0& 10& 0\\ 0& 0& 10\end{array}\right]$

$\therefore$ নির্ণেয় $f\left(A\right)=\left[\begin{array}{ccc}10& 0& 0\\ 0& 10& 0\\ 0& 0& 10\end{array}\right]$

উদ্দীপক হতে পাই,

$B=\left[\begin{array}{ccc}{a}^2& bc& ca+c^2\\ a^2+ab& b^2& ca\\ ab& b^2+bc& c^2\end{array}\right]$

বামপক্ষ (L.H.S) $=\left|B\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}{a}^2& bc& ca+c^2\\ a^2+ab& b^2& ca\\ ab& b^2+bc& c^2\end{array}\right|$

প্রথম কলাম ($C_1$) থেকে $a$, দ্বিতীয় কলাম ($C_2$) থেকে $b$ এবং তৃতীয় কলাম ($C_3$) থেকে $c$ কমন নিয়ে পাই:

$=abc\left|\begin{array}{ccc}a& c& a+c\\ a+b& b& a\\ b& b+c& c\end{array}\right|$

এখন, $C_1^{\prime }=C_1+C_2-C_3$ অপারেশন প্রয়োগ করে পাই:

$=abc\left|\begin{array}{ccc}a+c-(a+c)& c& a+c\\ a+b+b-a& b& a\\ b+b+c-c& b+c& c\end{array}\right|$

$=abc\left|\begin{array}{ccc}0& c& a+c\\ 2b& b& a\\ 2b& b+c& c\end{array}\right|$

এখন, $R_2^{\prime }=R_2-R_3$ অপারেশন প্রয়োগ করে পাই:

$=abc\left|\begin{array}{ccc}0& c& a+c\\ 0& -c& a-c\\ 2b& b+c& c\end{array}\right|$

নির্ণায়কটিকে প্রথম কলামের ($C_1$) সাপেক্ষে বিস্তার করে পাই:

$=abc\cdot 2b\left|\begin{array}{cc}c& a+c\\ -c& a-c\end{array}\right|$

প্রথম কলাম থেকে $c$ কমন নিয়ে পাই:

$=abc\cdot 2b\cdot c\left|\begin{array}{cc}1& a+c\\ -1& a-c\end{array}\right|$

$=2a{b}^2{c}^2\left|\begin{array}{cc}1& a+c\\ -1& a-c\end{array}\right|$

এখন নির্ণায়কের মান বের করি:

$=2a{b}^2{c}^2\left[1\right(a-c)-(-1\left)\right(a+c\left)\right]$

$=2a{b}^2{c}^2[a-c+a+c]$

$=2a{b}^2{c}^2\left(2a\right)$

$=4a^2{b}^2{c}^2$

$=$ ডানপক্ষ (R.H.S)

$\therefore \left|B\right|=4a^2{b}^2{c}^2$ (প্রমাণিত)