সৃজনশীলঃ ‘F(x)=x2+ax+b,G(x)=x2+bx+ah(x)=3×3−2×2+2x+1…’ ২০২৫ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $F\left(x\right)=x^2+\mathrm{ax}+b$

$F\left(x\right)=0$ হলে $x^2+ax+b=0$

এবং $G\left(x\right)=x^2+bx+a$

$G\left(x\right)=0$ হলে $x^2+bx+a=0$

ধরি, $x^2+ax+b=0$ সমীকরণের মূলদ্বয়  $\alpha ,\beta$

$\therefore \alpha +\dot{\beta }=-a$

এবং $\alpha \beta =b$
এবং $x^2+bx+a=0$ সমীকরণের মূলদ্বয়  $\alpha ,\gamma$

$\therefore \alpha +\gamma =-b$

এবং $\alpha \gamma =a$
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের সাধারণ মূল  $\alpha$ 

$\therefore {\alpha }^2+a\alpha +b=0$$...........\left(i\right)$

এবং ${\alpha }^2+b\alpha +a=0$$...........\left(ii\right)$

$\left(i\right)$ ও $\left(ii\right)$ হতে বজ্রগুণন সূত্রানুসারে পাই,

$\frac{{\alpha }^2}{a^2-b^2}=\frac{\alpha }{b-a}=\frac{1}{b-a}$ 

বা, $\frac{{\alpha }^2}{(a+b)(a-b)}=\frac{\alpha }{-(a-b)}=\frac{1}{-(a-b)}$
বা, $\frac{a^2}{a+b}=\frac{\alpha }{-1}=\frac{1}{-1}$
অর্থাৎ, $\alpha =-(a+b)$ এবং $\alpha =1$

$\therefore 1=-(a+b)$

বা, $a+b=-1$
এখন, $3x^2+(a+b-3)x=(a+b-3{)}^2$
বা, $3x^2+(-1-3)x=(-1-3{)}^2[\because a+b=-1]$
বা, $3{\dot{x}}^2-4x-16=0$
বা, $x=\frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4{)}^2-4\cdot 3\cdot (-16)}}{2\cdot 3}$ 

$=\frac{4\pm \sqrt{16+192}}{6}=\frac{4\pm 4\sqrt{13}}{6}=\frac{4(1\pm \sqrt{13})}{6}=\frac{2}{3}(1\pm \sqrt{13})$ 

নির্ণেয় মূলদ্বয়  $=\frac{2}{3}(1+\sqrt{13})$ অথবা  $\frac{2}{3}(1-\sqrt{13})$. 

দেওয়া আছে, $h\left(x\right)=3x^3-2x^2+2x+1$ 

$\therefore h\left(x\right)=0$ হলে, $3x^3-2x^2+2x+1=0$$.........\left(i\right)$

$\left(i\right)$ নং সমীকরণের মূলত্রয় $\alpha ,\beta ,\gamma$ হলে, 

$\alpha +\beta +\gamma =-\frac{-2}{3}=\frac{2}{3};\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =\frac{2}{3}$ এবং $\alpha \beta \gamma =-\frac{1}{3}$ 

প্রদত্ত রাশি: $\sum {\alpha }^2\beta ={\alpha }^2\beta +{\alpha }^2\gamma +{\beta }^2\alpha +{\beta }^2\gamma +{\gamma }^2\alpha +{\gamma }^2\beta$ 

$\begin{array}{cc}& ={\alpha }^2\beta +{\beta }^2\alpha +\alpha \beta \gamma +\alpha \beta \gamma +{\beta }^2\gamma +{\gamma }^2\beta +{\alpha }^2\gamma +\alpha \beta \gamma +{\gamma }^2\alpha -3\alpha \beta \gamma \\ & =\alpha \beta (\alpha +\beta +\gamma )+\beta \gamma (\alpha +\beta +\gamma )+\gamma \alpha (\alpha +\beta +\gamma )-3\alpha \beta \gamma \\ & =(\alpha +\beta +\gamma )(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )-3\alpha \beta \gamma \\ & =\frac{2}{3}\times \frac{2}{3}-3\times (-\frac{1}{3})=\frac{4}{9}+1=\frac{13}{9}\end{array}$ 

নির্ণেয়  মান $=\frac{13}{9}$