সৃজনশীলঃ ‘f(x)=x2−mx+n,g(x)=2×3−5×2−13x+30…’ ২০২৫ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^2-mx+n$

$f\left(x\right)=0$ হলে  $x^2-\mathrm{mx}+n=0$

সমীকরণ $\left(1\right)$ এর মূলম্বহ  $\alpha ,\beta$ হলে, $\alpha +\beta =-\frac{-m}{1}=m$ এবং $\alpha \beta =\frac{n}{1}=n$ এখন, $\frac{n}{m-\alpha }$ এবং $\frac{n}{m-\beta }$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ,

$x^2-(\frac{n}{m-\alpha }+\frac{n}{m-\beta })x+\frac{n}{m-\alpha }\cdot \frac{n}{m\beta }=0$

বা, $x^2-n(\frac{1}{m-\alpha }+\frac{1}{m-\beta })x+\frac{n^2}{(m-\alpha )(m-\beta )}=0$
বা, $x^2-n\cdot \frac{m-\alpha +m-\beta }{(m-\alpha )(m-\beta )}\times \frac{n^2}{m^2-(\alpha +\beta )m+\alpha \beta }=0$
বা, $x^2-n\cdot \frac{2m-(\alpha +\beta )}{m^2-(\alpha +\beta )m+\alpha \beta }x+\frac{n^2}{m^2-m\cdot m+n}=0$
বা, $x^2-n\cdot \frac{2m-m}{m^2-m^2+n}x+\frac{n^2}{m^2-m^2+n}=0$ 

বা, $x^2-\frac{mn}{n}x+\frac{n^2}{n}=0$ 

$\therefore x^2-\mathrm{mx}+n=0$ 

$\therefore$ প্রদত্ত সমীকরন এবং নির্ণীত সমীকরণ অভিন্ন অর্থাৎ একই। কারণ, সমীকরণ দুইটির সহগগুলো একে অপরের সমান।  

গ দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=2x^3-5x^2=\frac{1}{1}13x+30$

$g\left(x\right)=0$ হলে $2x^3-5x^2-13x+30=0$$..............\left(i\right)$

ধরি, $\left(i\right)$নং সমীকরণের মূল তিনটি  $\alpha ,2\beta ,3\beta$ । মূল ও সহগের সম্পর্ক থেকে পাই,  

$\alpha +2\beta +3\beta =-\frac{-5}{2}$ 

বा, $\alpha +5\beta =\frac{5}{2}$ 

$\therefore \alpha =\frac{5}{2}-5\beta$$..............\left(ii\right)$ 

এবং  $\alpha \cdot 2\beta +2\beta \cdot 3\beta +3\beta .\alpha =-\frac{13}{2}$
বা, $2\alpha \beta +6{\beta }^2+3\alpha \beta =-\frac{13}{2}$
বা, $5\alpha \beta +6{\beta }^2=-\frac{13}{2}$
বা, $5\beta (\frac{5}{2}-5\beta )+6{\beta }^2=-\frac{13}{2}$ [ $\alpha$ এর মান বসিয়ে]
বা, $\frac{25\beta }{2}-25\beta +6{\beta }^2=-\frac{13}{2}$
বা, $25\beta -2\times 19{\beta }^2=-13$
বা, $38{\beta }^2-25\beta -13=0$; যা একটি দ্বিঘাত সমীকরণ 

$\begin{array}{cc}\therefore \beta & =\frac{-(-25)\pm \sqrt{(-25{)}^2-4\cdot 38\cdot (-13)}}{2\cdot 38}\\ & =\frac{25\pm \sqrt{625+1976}}{76}=\frac{25\pm 51}{76}\end{array}$ 

(+) মান নিয়ে পাই, $\frac{25+51}{76}=\frac{76}{76}=1$
(-) মান নিয়ে পাই, $\frac{25-51}{76}=\frac{-26}{76}=-\frac{13}{38}$ 

$\therefore \beta =1,\frac{-13}{38}$ 

(ii)নং সমীকরণে $\beta =1$ বসিয়ে পাই, 

$\alpha =\frac{5}{2}-5.1=\frac{5}{2}-5=\frac{5-10}{2}=\frac{-5}{2}$ 

এইক্ষেত্রে, মূলত্রয় $(\frac{-5}{2},2,3)$ আবার, $\beta =-\frac{13}{38}$ হলে, $\left(ii\right)$নং হতে পাই, 

$\begin{array}{cc}\alpha & =\frac{5}{2}-5\cdot \left(\frac{-13}{38}\right)=\frac{5}{2}+\frac{65}{38}=\frac{95+65}{38}=\frac{160}{38}=\frac{80}{19}\\ \therefore 2\beta & =-\frac{26}{38},3\beta =3\cdot \left(\frac{-13}{38}\right)=\frac{-39}{38}\end{array}$ 

এইক্ষেত্রে মূলত্রয় $(\frac{80}{19},\frac{-26}{38},\frac{39}{38})$ 

$\left(i\right)$ নং সমীকরণের মূলত্রয়ের গুণফল, $\alpha \cdot 2\beta \cdot 3\beta =-\frac{30}{2}=-15$ 
১ম মূলগুলোর গুণফল $=-\frac{5}{2}\times 2\times 3=-15$; যা  (i)নং সমীকরণের মূলত্রয়ের গুণফলের সমান। 
এবং অপর মূলগুলোর গুণফল $=\frac{80}{19}\times \left(\frac{-26}{38}\right)\times \left(\frac{-39}{38}\right)\ne -15$ 
নির্ণেয় সমাধান $x=(\frac{-5}{2},2$ এবং 3$)$.