সৃজনশীলঃ ‘f(x)=x2+mx+n,g(x)=x2+nx+m,h(x)=2×3−6×2+4x−2…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৫ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$f\left(x\right)=x^2+mx+n$

এবং $g\left(x\right)=x^2+nx+m$

প্রশ্নমতে,

$f\left(x\right)=0$

$\therefore x^2+mx+n=0\dots \dots \left(i\right)$

এবং $g\left(x\right)=0$

$\therefore x^2+nx+m=0\dots \dots \left(ii\right)$

ধরি, $\left(i\right)$ নং সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha ,\beta$

মূলদ্বয়ের যোগফল, $\alpha +\beta =-m$

মূলদ্বয়ের গুণফল, $\alpha \beta =n$

আবার ধরি, $\left(ii\right)$ নং সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha ,\gamma$

[যেহেতু সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল আছে, তাই উভয় সমীকরণে সাধারণ মূল $\alpha$ নেওয়া হলো]

মূলদ্বয়ের যোগফল, $\alpha +\gamma =-n$

মূলদ্বয়ের গুণফল, $\alpha \gamma =m$

যেহেতু $\alpha$ সমীকরণ $\left(i\right)$ ও $\left(ii\right)$ উভয়েরই সাধারণ মূল, তাই এটি উভয় সমীকরণকে সিদ্ধ করবে:

${\alpha }^2+m\alpha +n=0\dots \dots \left(iii\right)$

${\alpha }^2+n\alpha +m=0\dots \dots \left(iv\right)$

$\left(iii\right)$ ও $\left(iv\right)$ নং সমীকরণে বজ্রগুণন সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

$\frac{{\alpha }^2}{m^2-n^2}=\frac{\alpha }{n-m}=\frac{1}{n-m}$

শেষের দুটি অনুপাত হতে পাই,

$\frac{\alpha }{n-m}=\frac{1}{n-m}$

$\Rightarrow \alpha =1$

প্রথম ও শেষ অনুপাত হতে পাই,

$\frac{{\alpha }^2}{m^2-n^2}=\frac{1}{n-m}$

$\Rightarrow {\alpha }^2=\frac{m^2-n^2}{n-m}$

$\Rightarrow {\alpha }^2=\frac{(m+n)(m-n)}{-(m-n)}$

$\Rightarrow {\alpha }^2=-(m+n)$

যেহেতু $\alpha =1$, তাই মান বসিয়ে পাই:

$(1{)}^2=-(m+n)$

$\therefore m+n=-1$

এখন,

$\alpha \beta =n\Rightarrow 1\cdot \beta =n\Rightarrow \beta =n$

$\alpha \gamma =m\Rightarrow 1\cdot \gamma =m\Rightarrow \gamma =m$

$\therefore$ অপর মূলদ্বয় ($\beta$ ও $\gamma$) দ্বারা গঠিত সমীকরণ:

$x^2-(\beta +\gamma )x+\beta \gamma =0$

$\Rightarrow x^2-(n+m)x+nm=0$

$\Rightarrow x^2-(-1)x+mn=0$$[\because m+n=-1]$

$\therefore x^2+x+mn=0$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,

$h\left(x\right)=2x^3-6x^2+4x-2$

প্রশ্নমতে, $h\left(x\right)=0$

$\Rightarrow 2x^3-6x^2+4x-2=0$

$\Rightarrow x^3-3x^2+2x-1=0\dots \dots \left(i\right)$ [উভয়পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করে সরল করা হলো]

যেহেতু $\left(i\right)$ নং সমীকরণের মূলত্রয় $a,b,c$, তাই:

মূলত্রয়ের যোগফল, $a+b+c=-\left(\frac{-3}{1}\right)=3$

দুটি করে মূলের গুণফলের যোগফল, $ab+bc+ca=\frac{2}{1}=2$

মূলত্রয়ের গুণফল, $abc=-\left(\frac{-1}{1}\right)=1$

আমাদের নির্ণয় করতে হবে: $\sum a^{3}b$ এর মান।

$\sum a^{3}b=a^{3}b+a{b}^3+b^{3}c+b{c}^3+c^{3}a+c{a}^3$

$=ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)$

$=ab(a^2+b^2+c^2-c^2)+bc(a^2+b^2+c^2-a^2)+ca(a^2+b^2+c^2-b^2)$

$=ab(a^2+b^2+c^2)-ab{c}^2+bc(a^2+b^2+c^2)-a^{2}bc+ca(a^2+b^2+c^2)-a{b}^{2}c$

$=(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)-abc(c+a+b)$

$=\left\{\right(a+b+c{)}^2-2(ab+bc+ca)\left\}\right(ab+bc+ca)-abc(a+b+c)$

এখন প্রাপ্ত মানগুলো বসিয়ে পাই:

$=\left\{\right(3{)}^2-2\left(2\right)\left\}\right(2)-(1\left)\right(3)$

$=(9-4)\times 2-3$

$=5\times 2-3$

$=10-3$

$=7$

$\therefore$ নির্ণেয় মান, $\sum a^{3}b=7$