সৃজনশীলঃ ‘f(x)=x2+x+1.…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৩ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$f\left(x\right)=x^2+x+1$

আবার, $\left\{f\right(x){\}}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots \dots \dots +a_{2n}{x}^{2n}$

অর্থাৎ, ${(1+x+x^2)}^n=a_0+a_{4}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4+a_5{x}^5+a_6{x}^6+\dots \dots ..+a_{2n}{x}^{2n}$ .........(1)

এখন, (1)নং এ $x=1$ বসিয়ে পাই,

${(1+1+1^2)}^n=a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_6+\dots ..+a_{2n}$

বা, $3^n=a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+$. ......... (2)

(1) নং এ $x=\omega$ বসিয়ে পাই,

${{{(1+\omega +{\omega }^2)}^n=a_0+a_1\left(\omega \right)+a_2\omega )}^2+a_3\omega )}^3+a_4({\omega }^4+a_5({\omega }^5+a_6({\omega }^6+\dots \dots .+a_{2n}({\omega }^{2n}$

বা, $0=a_0+a_1\omega +a_2{\omega }^2+a_3+a_4\omega +a_5{\omega }^2+a_6+$ ...... (3)

$[\because 1+\omega +{\omega }^2=0;{\omega }^3=1]$

আবার, (1)নং এ $x={\omega }^2$ বসিয়ে পাই,

$\begin{array}{cc}{(1+{\omega }^2+{\omega }^4)}^n=a_0+a_1{\omega }^2+a_2{\omega }^4& +a_3{\omega }^6+a_4{\omega }^8+a_5{\omega }^{10}+a_6{\omega }^{12}+\dots \dots \dots .+a_{2n}{\omega }^{4n}\end{array}$

বা, $0=a_0+a_1{\omega }^2+a_2\omega +a_3+a_4{\omega }^2+a_5\omega +a_6+$  ......... (4)

এখন, (2), (3) ও (4)নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

$3^n=3a_0+a_1(1+\omega +{\omega }^2)+a_2(1+{\omega }^2+\omega )+3a_3+a_4(1+\omega +{\omega }^2)+a_5(1+{\omega }^2+\omega )+3a_6+.......$

বা, $3^n=3a_0+a_1\cdot 0+a_2\cdot 0+3a_3+a_4\cdot 0+a_5\cdot 0+3a_6+\dots ..[\because 1+\omega +{\omega }^2=0]$

বা, $3^n=3(a_0+a_3+a_6+\dots \dots .)$

বা, $\frac{3^n}{3}=a_0+a_3+a_6+$

বা, $3^{n-1}=a_0+a_3+a_6+$

$\therefore a_0+a_3+a_6+\dots \dots ..=3^{n-1}$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^2+x+1$

এবং $f\left(x\right)=0$

বা, $x^2+x+1=0$

সমীকরণটির মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$

$\therefore \alpha +\beta =-\frac{1}{1}=-1$ এবং $\alpha \beta =\frac{1}{1}=1$

আবার, নির্ণেয় সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha +\frac{1}{\beta }$ ও $\beta +\frac{1}{\alpha }$

$\therefore$ মূলদ্বয়ের যোগফল $=(\alpha +\frac{1}{\beta })+(\beta +\frac{1}{\alpha })$

$=(\alpha +\beta )+(\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta })$

$=(\alpha +\beta )+\frac{\alpha +\beta }{\alpha \beta }=-1+\frac{-1}{1}=-2$

মূলদ্বয়ের গুণফল $=(\alpha +\frac{1}{\beta })(\beta +\frac{1}{\alpha })$

$=\alpha \beta +1+1+\frac{1}{\alpha \beta }=1+1+1+\frac{1}{1}=4$

নির্ণেয় সমীকরণ, $x^2$ - (মূলদ্বয়ের যোগফল) x+ মূলদ্বয়ের গুণফল =0

বা $x^2-(-2)x+4=0$

$\therefore x^2+2x+4=0$