সৃজনশীলঃ ‘F(x)=x2+x+1x,H(x)=xex(x+1)2…’ যশোর বোর্ড ২০১৭ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

ধরি, $y=F\left(x\right)=\frac{x^2+x+1}{x}=x+1+\frac{1}{x}$

$\therefore \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=1+0-\frac{1}{x^2}=1-\frac{1}{x^2}$

$\therefore \frac{d^{2}y}{{\mathrm{dx}}^2}=\frac{2}{x^3}$

লঘুমান ও গুরুমানের জন্য, $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0$

বা, $1-\frac{1}{x^2}=0$ বा, $1=\frac{1}{x^2}\therefore x=\pm 1$

$x=1$ হলে, $\frac{d^{2}y}{{\mathrm{dx}}^2}=\frac{2}{1^3}=2>0$

$x=1$ এর জন্য প্রদত্ত ফাংশনটির লঘুমান বিদ্যমান।

$\therefore$ লঘুমান $=F\left(1\right)=1+1+\frac{1}{1}=3$

$x=-1$ হলে, $\frac{d^{2}y}{{\mathrm{dx}}^2}=\frac{2}{(-1{)}^3}=-2<0$

$x=-1$ এর জন্য প্রদত্ত ফাংশনটির গুরুমান বিদ্যমান। গুরুমান $=F(-1)=-1+1+\frac{1}{-1}=-1$

$\therefore F\left(x\right)$ ফাংশনটির লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহতর।

(দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $H\left(x\right)=\frac{{\mathrm{xe}}^x}{(x+1{)}^2}$

$\therefore \int \frac{x^x}{(x+1{)}^2}dx=\int \frac{\left\{\right(x+1)-1\}{e}^x}{(x+1{)}^2}dx$

$=\int e^x\cdot \frac{1}{x+1}dx-\int \frac{e^x}{(x+1{)}^2}dx.$

$=\frac{1}{x+1}\int e^{x}dx-\int \{\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x+1}\right)\int e^{x}dx\}dx-\int \frac{e^x}{(x+1{)}^2}dx$

$=\frac{e^x}{x+1}+\int \frac{e^x}{(x+1{)}^2}dx-\int \frac{e^x}{(x+1{)}^2}dx=\frac{e^x}{x+1}+c$

$\therefore {\int }_0^{1}H\left(x\right)dx={\int }_0^1\frac{x{e}^x}{(x+1{)}^2}dx$

$={\left[\frac{e^x}{x+1}\right]}_0^1$

$=\frac{e^1}{1+1}-\frac{e^0}{0+1}=\frac{e}{2}-1\text{ (Ans.) }$