সৃজনশীলঃ ‘f(x)=x3+2×2−15x একটি বহুপদী।…’ চট্টগ্রাম কলেজিয়েট স্কুল ২০২৫ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

 দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^3+2x^2-15x$
$f\left(x\right)$ কে $(x-m)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে $f\left(x\right)$

$\therefore f\left(m\right)=m^3+2m^2-15m$

আবার, $f\left(x\right)$ কে $(x-n)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে $f\left(n\right)$

$\therefore f\left(n\right)=n^3+2n^2-15n$

শর্তমতে, $f\left(m\right)=f\left(n\right)$
বা, $m^3+2m^2-15m=n^3+2n^2-15n$
বা, $m^3-n^3+2(m^2-n^2)-15(m-n)=0$
বা, $(m-n)(m^2+mn+n^2)+2(m+n)(n-n)-15(m-n)=0$
বা, $(m-n)(m^2+mn+n^2+2m+2n-15)=0$
∴ হয়, $m-n=0$ অথবা, $m^2+mn+n^2+2m+2n-15=0$
কিন্তু $m\ne n$ সুতরাং $m-n\ne 0$

$\therefore m^2+mn+n^2+2m+2n-15=0$(দেখানো হলো) 

দেওয়া আছে, $Q\left(x\right)=\frac{2x^4}{x^4-16}=\frac{2x^4}{{\left(x^2\right)}^2-4^2}=\frac{2x^4}{(x^2+4)(x^2-4)}$

$=\frac{2x^4}{(x^2+4)(x+2)(x-4)}$

ধরি, $\frac{2x^4}{(x^2+4)(x+2)(x-2)}\equiv 2+\frac{Ax+B}{(x^2+4)}+\frac{C}{x+2}+\frac{D}{x-2}$$.....\left(1\right)$ 
(1) নং সমীকরণের উভয়পক্ষকে $(x^2+4)(x+2)(x-2)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$2x^4\equiv 2(x^2+4)(x+2)(x-2)+(Ax+B)(x+2)(x-2)$$+C(x^2+4)(x-2)+D(x^2+4)(x+2)$$.....\left(2\right)$

(2) নং এর উভয়পক্ষে পর্যায়ক্রমে, $x=-2,2$ বসিয়ে পাই,

$\begin{array}{cc}& 2(-2{)}^4=2\times 0+(Ax+B)\times 0+C(4+4\left)\right(-2-2)+D\times 0\\ & 32=C\times (-32)\end{array}$

বা, $C=\frac{32}{-32}=-1$

$2\times 2^4=2\times 0+(Ax+B)\times 0+C\times 0+D(4+4)(2+2)$

বা, $32=0+0+0+D\times 32$
বা, $D=\frac{32}{32}=1$
আবার, (2) নং হতে, $x^3,x^2$ এর সহগ সমকৃত করে পাই,

$0=0+A+C+D$

বা, $0=A+1-1$

$\begin{array}{c}\therefore A=0\\ 0=B-2C+2D\end{array}$

বা, $0=B-2(-1)+2\times 1[\because C=-1,D=1]$
বা, $0=B+2+2$
বা, $0=B+4$

$\therefore B=-4$

এখন, A, B, C এবং D এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 

$\frac{2x^4}{(x^2+4)(x+2)(x-2)}\equiv 2+\frac{0\cdot x-4}{x^2+4}+\frac{-1}{x+2}+\frac{1}{x-2}$ 

$\equiv 2-\frac{4}{x^2+4}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-2}$, যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।