সৃজনশীলঃ ‘f(x)=x3−3×2−2x+1y=18×2…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৩ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$y=f\left(x\right)=x^3-3x^2-2x+1$

বা, $\frac{dy}{dx}=3x^2-6x-2$

বক্ররেখাটির স্পর্শকগুলি অক্ষদ্বয়ের সাথে সমান সমান কোণ উৎপন্ন করলে, $\frac{dy}{dx}=\pm 1$

বা, $3x^2-6x-2=\pm 1$

$3x^2-6x-2=1$ হলে,

$3x^2-6x-2-1=0$

বা, $3x^2-6x-3=0$

বা, $3(x^2-2x-1)=0$

বা, $x^2-2x-1=0$

বা, $x=\frac{2\pm \sqrt{(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-1)}}{2.1}$

বা, $x=\frac{2\pm \sqrt{4+4}}{2}$.

বা, $x=\frac{2\pm \sqrt{8}}{2}=\frac{2\pm 2\sqrt{2}}{2}=\frac{2(1\pm \sqrt{2})}{2}=1\pm \sqrt{2}$

$3x^2-6x-2=-1$ হলে,

$3x^2-6x-2+1=0$

বা, $3x^2-6x-1=0$

বা, $x=\frac{6\pm \sqrt{(-6{)}^2-4\cdot 3\cdot (-1)}}{2\cdot 3}=\frac{6\pm \sqrt{36+12}}{6}$

বা, $x=\frac{6\pm \sqrt{48}}{6}=\frac{6\pm 4\sqrt{3}}{6}=\frac{2(3\pm 2\sqrt{3})}{6}=\frac{3\pm 2\sqrt{3}}{3}=1\pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

নির্ণেয় ভুজ : $1\pm \sqrt{2},1\pm \frac{2}{\sqrt{3}}$.

প্রদত্ত পরাবৃত্ত, $y=\frac{1}{8}{x}^2$

বা, $x^2=8y\dots \dots \dots \left(1\right)$

বা, $x^2=4.2.y$

$\therefore$ উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, $y=2$ .......... (2)

(1) নং এ$এy=2$ বসিয়ে পাই,

$x^2=16$

বা, $x^2=(\pm 4{)}^2$

$\therefore x=\pm 4$

(1) নং পরাবৃত্ত এবং (2) নং রেখা পরস্পর $A(4,2)$ ও $B(-4,2)$ বিন্দুতে ছেদ করে।

$\therefore$ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল = AOB অংশের ক্ষেত্রফল

(1) নং হতে, $y=\frac{x^2}{8}=y_1$ (ধরি)

(2) নং হতে $y=2=y_2$ (ধরি)

$\therefore$ AOB অংশের ক্ষেত্রফল $={\int }_{-4}^4(y_2-y_1)dx$

$={\int }_{-4}^4(2-\frac{x^2}{8})dx$

$=2{\int }_{-4}^{4}dx-\frac{1}{8}{\int }_{-4}^4{x}^{2}dx$

$=2[x{]}_{-4}^4-\frac{1}{8}{\left[\frac{x^3}{3}\right]}_{-4}^4$

$=2(4+4)-\frac{1}{24}(64+64)$

$=16-\frac{128}{24}$

$=16-\frac{16}{3}=\frac{32}{3}$ বর্গ একক।

নির্ণেয় আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $\frac{32}{3}$ বর্গ একক।