সৃজনশীলঃ ‘f(x)=x3−3×2−2x+1y=18×2 একটি পরাবৃত্ত…’ ২০২৬ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $y=f\left(x\right)=x^3-3x^2-2x+1$
বা, $\frac{dy}{dx}=3x^2-6x-2$
ব্রেরেখাটির স্পর্শকগুলি অক্ষদ্বয়ের সাথে সমান সমান কোণ উৎপন্ন করলে, $\frac{dy}{dx}=\pm 1$
বা, $3x^2-6x-2=\pm 1$

$3x^2-6x-2=1$ হলে, 
$3x^2-6x-2-1=0$

বা, $3x^2-6x-3=0$
বা, $3(x^2-2x-1)=0$
বা, $x^2-2x-1=0$
বা, $x=\frac{2\pm \sqrt{(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-1)}}{2\cdot 1}$ 

বা, $x=\frac{2\pm \sqrt{4+4}}{2}$
বা, $x=\frac{2\pm \sqrt{8}}{2}=\frac{2\pm 2\sqrt{2}}{2}=\frac{2(1\pm \sqrt{2})}{2}=1\pm \sqrt{2}$

$3x^2-6x-2=-1$ হলে, 
$3x^2-6x-2+1=0$

বা, $3x^2-6x-1=0$
বা, $x=\frac{6\pm \sqrt{(-6{)}^2-4\cdot 3\cdot (-1)}}{2\cdot 3}=\frac{6\pm \sqrt{36+12}}{6}$
বা, $x=\frac{6\pm \sqrt{48}}{6}=\frac{6\pm 4\sqrt{3}}{6}=\frac{2(3\pm 2\sqrt{3})}{6}=\frac{3\pm 2\sqrt{3}}{3}=1\pm \frac{2}{\sqrt{3}}$
নির্ণেয় ভুজ : $1\pm \sqrt{2},1\pm \frac{2}{\sqrt{3}}$. 

প্রদত্ত পরাবৃত্ত, $y=\frac{1}{8}{x}^2$
বা, $x^2=8y$$.....\left(1\right)$

বা, $x^2=4.2.y$
∴ উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, $y=2$$.....\left(2\right)$
$\left(1\right)$ নং এ $y=2$ বসিয়ে পাই,

$x^2=16$

বা, $x^2=(\pm 4{)}^2$

$\therefore x=\pm 4$ 

(1)নং পরাবৃত্ত এবং (2)নং রেখা পরস্পর A(4, 2) ও B(-4,2) বিন্দুতে ছেদ করে। ∴ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $=$ AOB অংশের ক্ষেত্রফল
(1) নং হতে, $y=\frac{x^2}{8}=y_1$ (ধরি)
(2) নং হতে, $y=2=y_2$ (ধরি) 

$\therefore$ AOB অংশের ক্ষেত্রফল $={\int }_{-4}^4(y_2-y_1)dx$ 

$\begin{array}{cc}& ={\int }_{-4}^4(2-\frac{x^2}{8})dx\\ & =2{\int }_{-4}^{4}dx-\frac{1}{8}{\int }_{-4}^4{x}^{2}dx\\ & =2[x{]}_{-4}^4-\frac{1}{8}{\left[\frac{x^3}{3}\right]}_{-4}^4\\ & =2(4+4)-\frac{1}{24}(64+64)\end{array}$ 

$=16-\frac{128}{24}=16-\frac{16}{3}=\frac{32}{3}$ বর্গ একক 

নির্ণেয় আবস্থ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $\frac{32}{3}$ বর্গ একক।