সৃজনশীলঃ ‘{f(x)=x3−6×2+9x+5}g(x)=x+2h(x)=(1−x)(x2+4)…’ যশোর বোর্ড ২০২৩ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+5$

$\therefore f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-12x+9$

ফাংশনটি ক্রম বর্ধমান হবে যদি

$f^{\prime }\left(x\right)>0$ হয়

বা, $3x^2-12x+9=0$

বা, $3(x^2-4x+3)>0$

বা, $x^2-4x+3>0$

বা, $x^2-3x-x+3>0$

বা, $x(x-3)-1(x-3)>0$

বা, $(x-3)(x-1)>0$

(i) নং অসমতাটি সত্য হবে যদি এবং কেবল যদি $(x-3)$ ও $(x-1)$

উভয়ই ধনাত্মক অথবা উভয়ই ঋণাত্মক হয়।

$\therefore$ (1) নং অসমতাটি সত্য হবে যদি $x<1$ অথবা $x>3$ হয়। অর্থাৎ, $x<1$ অথবা $x>3$ হলে ফাংশনটি ক্রমবর্ধমান হবে।

আবার, ফাংশনটি ক্রম হ্রাসমান হবে যদি,

$f^{\prime }\left(x\right)<0$ হয়

বা, $3x^2-12x+9<0$

বা, $(x-3)(x-1)<0$ ............ (ii)

$\therefore 1<x<3$

অর্থাৎ, $1<x<3$ হলে ফাংশনটি ক্রম হ্রাসমান হবে।

অতএব, $x<1$ অথবা $x>3$ ব্যবধিতে ফাংশনটি বৃদ্ধি পায় এবং $1<x<3$ ব্যবধিতে ফাংশনটি হ্রাস পায়।

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=x+2$ এবং $h\left(x\right)=(1-x)(x^2+4)$,

$\therefore \int \frac{g\left(x\right)}{h\left(x\right)}dx=\int \frac{x+2}{(1-x)(x^2+4)}dx$

ধরি, $\frac{x+2}{(1-x)(x^2+4)}=\frac{A}{1-x}+\frac{Bx+C}{x^2+4}$ ........ (1)

(1) নং এর উডয়পক্ষকে $(1-x)(x^2+4)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$x+2=A(x^2+4)+(Bx+C)(1-x)$ .......... (2)

(2) নং Math input error$\text{Math input error}$, বসিয়ে পাই,

$\begin{array}{cc}& 3=5A\end{array}$

বা, $A=\frac{3}{5}$

(2) নং হতে $x^2$ এর সহগ সমীকৃত করে পাই,

$A-B=0$

বা, $\frac{3}{5}-B=0$

$\therefore B=\frac{3}{5}$

(2) নং হতে $x$ এর সহগ সমীকৃত করে পাই,

$B-C=1$

বা, $\frac{3}{5}-C=1$

বা, $C=\frac{3}{5}-1$

$\therefore C=-\frac{2}{5}$

(1) নং এ $A,B$ ও $C$ এর মান বসিয়ে পাই,

$\therefore \frac{x+2}{(1-x)(x^2+4)}=\frac{3}{5(1-x)}+\frac{\frac{3}{5}x-\frac{2}{5}}{x^2+4}$

$=\frac{3}{5(1-x)}+\frac{3x-2}{5(x^2+4)}$

$\therefore \int \frac{g\left(x\right)}{h\left(x\right)}dx=\int \frac{x+2}{(1-x)(x^2+4)}dx$

$=\int \frac{3}{5(1-x)}dx+\int \frac{3x-2}{5(x^2+4)}dx$

$=\frac{3}{5}\int \frac{1}{1-x}dx+\frac{1}{5}[\int \frac{3x}{x^2+4}dx-\int \frac{2}{x^2+4}dx]$

$=\frac{-3}{5}\int \frac{-1}{1-x}dx+\frac{3}{5\times 2}\int \frac{2x}{x^2+4}dx-\frac{2}{5}\int \frac{1}{x^2+2^2}dx$

$=-\frac{3}{5}\ln |1-x|+\frac{3}{10}\ln |x^2+4|-\frac{2}{5}\times \frac{1}{2}{\tan }^{-1}\frac{x}{2}+c$

$=\frac{3}{10}\ln |x^2+4|-\frac{3}{5}\ln |1-x|-\frac{1}{5}{\tan }^{-1}\frac{x}{2}+c.$