সৃজনশীলঃ ‘f(x)=x3−9×2+24x−12,φ(x)=112−16×2 এবং ψ(x)=tan−1⁡(x5)…’ বরিশাল বোর্ড ২০১৭ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^3-9x^2+24x-12$

$\therefore f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-18x+24$

$\therefore f^{\prime \prime }\left(x\right)=6x-18$

এখন, লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মানের জন্য $f^{\prime }\left(x\right)=0$

$3x^2-18x+24=0$

বা, $x^2-6x+8=0$

বা, $x^2-4x-2x+8=0$

বা, $x(x-4)-2(x-4)=0$

বা, $(x-2)(x-4)=0$

$\therefore x=2,4$

$x=2$ হলে $f^{\prime \prime }\left(x\right)=6.2-18$

$=12-18$

$=-6<0$

$\therefore x=2$ এর জন্য ফাংশनটির গরিষ্ঠমান বিদ্যমান এবং গরিষ্ঠমান $f\left(2\right)=2^3-{9.2}^2+24.2-12$

$=8-36+48-12$

= 8

আবার, $x=4$ হলে $f^{\prime \prime }\left(x\right)=6.4-18=24-18=6>0$

$\therefore x=4$ এর জন্য ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান বিদ্যামান এবং লঘিষ্ঠমান

$f\left(4\right)=4^3-{9.4}^2+24.4-12$

$=64-144+96-12=4$

$\therefore$ নির্ণেয় লঘিষ্ঠমান 4 এবং গরিষ্ঠমান 8. (Ans.)

(i)
$\int \varphi \left(x\right)dx=\int \frac{1}{\sqrt{12-16x^2}}dx$

$=\int \frac{1}{\sqrt{16(\frac{12}{16}-x^2)}}dx$

$=\int \frac{dx}{4\times \sqrt{\frac{3}{4}-x^2}}=\int \frac{dx}{4\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2-x^2}}$

$=\frac{1}{4}{\sin }^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+c=\frac{1}{4}{\sin }^{-1}\left(\frac{2x}{\sqrt{3}}\right)+c\text{ (Ans.) }$

(ii) 

$\int \Psi \left(x\right)dx=\int {\tan }^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)dx$

$={\tan }^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)\int dx-\int [\frac{d}{dx}\{{\tan }^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)\}\times dx]dx$

= $x{\tan }^{-1}\frac{x}{5}-\int \frac{1}{1+\frac{x^2}{25}}\cdot \frac{1}{5}\cdot xdx$

= $x{\tan }^{-1}\frac{x}{5}-\int \frac{5x}{25+x^2}dx$

= $x{\tan }^{-1}\frac{x}{5}-\frac{5}{2}\int \frac{2x}{5^2+x^2}\mathrm{dx}$

= $x{\tan }^{-1}\frac{x}{5}-\frac{5}{2}\ln |5^2+x^2|+c\text{ (Ans.) }$