সৃজনশীলঃ ‘f(x)=x−4(x+1)(x+2) এবং g(x)=3+4sin⁡x…’ মাইলস্টোন কলেজ ২০২৫ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\frac{x-4}{(x+1)(x+2)}$

আবার, $y=f\left(x\right)$

$\therefore y=\frac{x-4}{(x+1)(x+2)}$. . . . . . . . . . . . .(1)

যেহেতু (1) নং বক্ররেখাটি $x$ অক্ষকে ছেদ করে, সেহেতু ছেদবিন্দুর কোটি, $y=0$

$\therefore 0=\frac{x-4}{(x+1)(x+2)}$

বা, $x-4=0$

$\therefore x=4$

অর্থাৎ, (1) নং বক্ররেখা $x$ অক্ষকে $(4,0)$ বিন্দুতে ছেদ করে।

(1) নং কে $x$এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\begin{array}{cc}\frac{dy}{dx}& =\frac{(x+1)(x+2)\frac{d}{dx}(x-4)-(x-4)\frac{d}{dx}\left\{\right(x+1\left)\right(x+2\left)\right\}}{\left\{\right(x+1\left)\right(x+2){\}}^2}\\ & =\frac{(x+1)(x+2)(1-0)-(x-4)\frac{d}{dx}(x^2+34+2)}{(x+1{)}^2(x+2{)}^2}\\ & =\frac{(x+1)(x+2)-(x-4)(2x+3)}{(x+1{)}^2(x+2{)}^2}\\ & =\frac{(x+1)(x+2)-(x-4)(2x+3)}{(x+1{)}^2(x+2{)}^2}\end{array}$

$(4,0)$ বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল,

$\begin{array}{cc}\frac{dy}{dx}& =\frac{(4+1)(4+2)-(4-4)(2\times 4+3)}{(4+1{)}^2(4+2{)}^2}\\ & =\frac{5\times 6-0}{5^2\times 6^2}=\frac{30}{900}=\frac{1}{30}\\ \therefore \frac{dx}{dy}& =30\end{array}$

$(4,0)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,

$y-y_1=\frac{dy}{dx}(x-x_1)$

বা, $y-0=\frac{1}{30}(x-4)$

বা, $30y=x-4$

$\therefore x-30y-4=0$

$(4,0)$ বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,

$y-y_1=-\frac{dx}{dy}(x-x_1)$

বা, $y-0=-30(x-4)$

বা, $y=-30(x-4)$

বা, $y=-30x+120$

$\therefore 30x+y-120=0$

নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ, $x-30y-4=0$ এবং অভিলম্বের সমীকরণ, $30x+y-120=0$

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=3+4\sin x$

আবার, $y=\sqrt{g\left(x\right)}$ হলে,

$y=\sqrt{3+4\sin x}$

বা, $y^2=3+4\sin x$ [বর্গ করে]

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

বা, $2y\frac{dy}{dx}=0+4\cos x$

বা, $2y\frac{dy}{dx}=4\cos x$

আবার, $x$এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

বা, $2\frac{d}{dx}\left(y\frac{dy}{dx}\right)=4\frac{d}{dx}(\cos x)$

বা, $2(y\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+\frac{dy}{dx}\times \frac{dy}{dx})=4(-\sin x)$

বা, $2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+2{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2=-4\sin x$

বা, $2y\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+2{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2=3-y^2$

$[\because y^2=3+4\sin x$ বা, $-4\sin x=3-y^2]$

$\therefore 2y\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+2{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2+y^2=3$  (প্রমাণিত)