সৃজনশীলঃ ‘f(x)=x4−13×3+61×2−107x+58,g(x)=x1−4x+3×2…’ বরিশাল বোর্ড ২০১৭ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^4-13x^3+61x^2-107x+58$

এবং $f\left(x\right)=0$

$\therefore x^4-13x^3+61x^2-107x+58=0$ ...... (i)

সমীকরণটির একটি মূল 5 + 2i হলে অপর একটি মূল হবে 5–2i.

মনে করি, সমীকরণটির অবশিষ্ট মূল দুইটি α, β

∴ মূলগুলির যোগফল,  5 + 2i + 5 – 2i + α + β = 13 ...... (ii)

আবার, মূলগুলির গুণফল,  (5 + 2i) (5 – 2i) αβ = 58

বা, $(25-4i^2)\alpha \beta =58$ বা, $\{25-4(-1\left)\right\}\alpha \beta =58$
বা, $29\alpha \beta =58\therefore \alpha \beta =2\dots \dots$ (iii)

এখন, $(\alpha -\beta {)}^2=(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta =3^2-4.2=1$

$\therefore \alpha -\beta =\pm 1$

(+) চিহ্ন ব্যবহার করে পাই, $\alpha -\beta =1$  ... ... (iv)

(ii) ও (iv) যোগ করে পাই, $2\alpha =4\therefore \alpha =2$

α এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই, $2+\beta =3\therefore \beta =1$

(-) চিহ্ন ব্যবহার করেও একই মূল পাওয়া যায়।

∴ নির্ণেয় অপর মূলগুলি 5 – 2i, 2, 1(Ans.)

দেওয়া আছে, 

$g\left(x\right)=\frac{x}{1-4x+3x^2}$

$\begin{array}{cc}& =\frac{x}{1-3x-x+3x^2}=\frac{x}{(1-3x)(1-x)}\\ & =\frac{\frac{1}{3}}{(1-3x)(1-\frac{1}{3})}+\frac{1}{(1-x)(1-3)}\end{array}$[cover-up rule এর সাহায্যে ]

$\begin{array}{cc}& =\frac{\frac{1}{2}}{1-3x}+\frac{-\frac{1}{2}}{1-x}=\frac{1}{2}\left\{\right(1-3x{)}^{-1}-(1-x{)}^{-1}\}\\ & =\frac{1}{2}[\{1+3x+(3x{)}^2+\dots +(3x{)}^r+\dots \}-\{1+x+x^2+\dots +x^r+\dots \}]\\ & =\frac{1}{2}[1+3x+9x^2+\dots \dots +3^r\cdot x^r+\dots \dots -1-x-x^2-\dots \dots -x^r-\dots ]\end{array}$

∴ x^r এর সহগ $=\frac{1}{2}(3^r-1)$ (Ans.)