সৃজনশীলঃ ‘f(x)=x4−23×3−2×2+2xএবং g(x)=sin−1⁡x.…’ সরকারি হাজী মুহাম্মদ মহসিন কলেজ ২০২৫ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

[বি: দ্র: f(x) এর পরিবর্তে g(x) হবে)

ধরি, $x=\sin \theta$

বা, $dx=\cos \theta d\theta$

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)={\sin }^{-1}x$

$\therefore \int xf\left(x\right)\mathrm{dx}=\int x{\sin }^{-1}\mathrm{xdx}$

$={\sin }^{-1}x\int xdx-\int \{\frac{d}{dx}{\sin }^{-1}x\int xdx\}dx$

$=\frac{x^2}{2}{\sin }^{-1}x-\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\cdot \frac{x^2}{2}dx$

$=\frac{x^2}{2}{\sin }^{-1}x-\int \frac{{\sin }^2\theta }{2\sqrt{1-{\sin }^2\theta }}\cos \theta d\theta$

$=\frac{x^2}{2}{\sin }^{-1}x-\int \frac{{\sin }^2\theta }{2\cos \theta }\cos \theta d\theta$

$=\frac{x^2}{2}{\sin }^{-1}x-\frac{1}{4}\int 2{\sin }^2\theta d\theta$

$=\frac{x^2}{2}{\sin }^{-1}x-\frac{1}{4}\int (1-\cos 2\theta )d\theta$

$=\frac{x^2}{2}{\sin }^{-1}x-\frac{1}{4}(\theta -\frac{\sin 2\theta }{2})+c$

$=\frac{x^2}{2}{\sin }^{-1}x-\frac{1}{4}(\theta -\frac{2\sin \theta \cos \theta }{2})+c$

$=\frac{x^2}{2}{\sin }^{-1}x-\frac{1}{4}\theta +\frac{1}{4}\sin \theta \sqrt{1-{\sin }^2\theta }+c$

$=\frac{x^2}{2}{\sin }^{-1}x-\frac{1}{4}{\sin }^{-1}x+\frac{1}{4}x\sqrt{1-x^2}+c$

$[\because x=\sin \theta$ বা, $\theta ={\sin }^{-1}x]$

নির্ণেয় যোজিত ফল $\frac{x^2}{2}{\sin }^{-1}x-\frac{1}{4}{\sin }^{-1}x+\frac{1}{4}x\sqrt{1-x^2}+c$

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^4-\frac{2}{3}{x}^3-2x^2+2x$

$\therefore f\left(x\right)=x^4-\frac{2}{3}{x}^3-2x^2+2x$

$f^{\prime }\left(x\right)=4x^3-2x^2-4x+2;$

$g^{\prime \prime }\left(x\right)=12x^2-4x-4$

ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মানের জন্য,

$f^{\prime }\left(x\right)=0$

বা, $4x^3-2x^2-4x+2=0$

বা, $2x^3-x^2-2x+1=0$

বা, $x^2(2x-1)-1(2x-1)=0$

বা, $(2x-1)(x^2-1)=0$

$\therefore x=-1,\frac{1}{2},1$

কিন্তু $x=-1$ গ্রহণযোগ্য নয়। কারণ $-1\notin (-1,2)$

$x=\frac{1}{2}$ হলে, $f^{\prime \prime }\left(x\right)=12\times \frac{1}{4}-4\times \frac{1}{2}-4=-3<0$

$\therefore x=\frac{1}{2}$ এর জন্য ফাংশনটির মান সর্বোচ্চ হবে।

আবার, $x=1$ হলে, $f^{\prime \prime }\left(x\right)=12-4-4=4>0$

$\therefore x=1$ এর জন্য ফাংশনটির মান সর্বনিম্ন হবে।

$\therefore$ সর্বোচ্চ মান $={\left(\frac{1}{2}\right)}^4-\frac{2}{3}{\left(\frac{1}{2}\right)}^3-2{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+2\times \frac{1}{2}$

$=\frac{1}{16}-\frac{1}{12}-\frac{1}{2}+1=\frac{23}{48}$

$\therefore$ সর্বনিম্ন মান $=1-\frac{2}{3}-2+2=\frac{1}{3}$

নির্ণেয় সর্বোচ্চ মান $\frac{23}{48}$ এবং সর্বনিম্ন মান $\frac{1}{3}$.