সৃজনশীলঃ ‘F(x)=x4+3×3+4×2+6x+4 একটি বহুপদী।…’ ঢাকা রেসিডেনসিয়াল মডেল কলেজ ২০২৬ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $F\left(x\right)=x^4+3x^3+4x^2+6x+4$

শর্তমতে, $F\left(x\right)=0$

বা, $x^4+3x^3+4x^2+6x+4=0$

বা, $x^4+x^3+2x^3+2x^2+2x^2+2x+4x+4=0$

বা, $x^3(x+1)+2x^2(x+1)+2x(x+1)+4(x+1)=0$

বা, $(x+1)(x^3+2x^2+2x+4)=0$

বা, $(x+1)\left\{x^2\right(x+2)+2(x+2\left)\right\}$

বা, $(x+1)(x+2)(x^2+2)=0$

হয়, $x+1=0$

বা; $x=-1$

অথবা, $x+2=0$

বা, $x=-2$

অথবা, $x^2+2=0$

বা, $x^2=-2$ যা অগ্রহণযোগ্য।

∴ নির্ণেয় মান, $x=-1,-2$

দেওয়া আছে, $F\left(x\right)=x^4+3x^3+4x^2+6x+4$

$=(x+1)(x+2)(x^2+2)$ ['খ' হতে পাই]

এখন, $\frac{x}{F\left(x\right)}=\frac{x}{(x+1)(x+2)(x^2+2)}$

ধরি, $\frac{x}{(x+1)(x+2)(x^2+2)}\equiv \frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}+\frac{Cx+D}{x^2+2}$..(1)

(1) নং এর উভয় পক্ষকে $(x+1)(x+2)(x^2+2)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$x\equiv A(x+2)(x^2+2)+B(x+1)(x^2+2)+(Cx+D)(x+1)(x+2)$....(2)

বা, $x\equiv A(x^3+2x+2x^2+4)+B(x^3+2x+x^2+2)+(Cx+D)(x^2+3x+2)$

বা,

$\begin{array}{cc}x\equiv A{x}^3+2A{x}^2+& 2Ax+4A+B{x}^3+B{x}^2+2Bx+2B\\ & +C{x}^3+3C{x}^2+2Cx+D{x}^2+3Dx+2D\end{array}$

বা,

$\begin{array}{c}x\equiv x^3(A+B+C)+x^2(2A+B+3C+D)+x(2A+2B\\ +2C+3D)+(4A+2B+2D)\dots (3)\end{array}$

(2) নং এ $x=-2$ বসিয়ে পাই,

$\begin{array}{cc}-2=A(-2+2)\left\{\right(-2{)}^2+2\}& +B(-2+1)\left\{\right(-2{)}^2+2\}\\ & +\left\{C\right(-2)+D\}(-2+1)(-2+2)\end{array}$

বা, $-2=-B\times 6$

বা, $B=\frac{-2}{-6}=\frac{1}{3}$

(2) নং এ $x=-1$ বসিয়ে পাই,

$\begin{array}{cc}-1=A(-1+2)\left\{\right(-1{)}^2+2\}& +B(-1+1)\left\{\right(-1{)}^2+2)\\ & +\left\{C\right(-1)+D\}(-1+1)(-1+2)\end{array}$

বা, $-1=A\times 3$

বা, $A=\frac{-1}{3}$

(3) নং এর উভয়পক্ষ হতে $x^3$ এর সহগ ও ধ্রুবপদ সমীকৃত করে পাই,

$0=A+B+C$

বা, $\frac{-1}{3}+\frac{1}{3}+C=0$

$\therefore C=0$

আবার, $0=4A+2B+2D$

বা, $2A+B+D=0$
বা, $2\left(\frac{-1}{3}\right)+\frac{1}{3}+D=0$
বা, $\frac{-2}{3}+\frac{1}{3}+D=0$
বা, $\frac{-1}{3}+D=0$

$\therefore D=\frac{1}{3}$

এখন, (1) নং হতে পাই,

$\begin{array}{cc}\frac{x}{(x+1)(x+2)(x^2+2)}& =-\frac{1}{3(x+1)}+\frac{1}{3(x+2)}+\frac{0\times x+\frac{1}{3}}{x^2+2}\\ & =\frac{1}{3(x+2)}-\frac{1}{3(x+1)}+\frac{1}{3(x^2+2)}\end{array}$

এটিই হলো $\frac{x}{F\left(x\right)}$ এর আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশিত রূপ।