সৃজনশীলঃ ‘f(x)=x−6,p(x)=x2−ix−1…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৫ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$z=p+iq$ এবং $f\left(x\right)=x-6$

প্রদত্ত শর্তমতে,

$\left|f\right(z+9\left)\right|-\left|f\right(z+3\left)\right|=4$

এখানে,

$f(z+9)=(z+9)-6=z+3=p+iq+3=(p+3)+iq$

এবং, $f(z+3)=(z+3)-6=z-3=p+iq-3=(p-3)+iq$

শর্তানুসারে পাই,

$\left|\right(p+3)+iq|-\left|\right(p-3)+iq|=4$

$\Rightarrow \sqrt{(p+3{)}^2+q^2}-\sqrt{(p-3{)}^2+q^2}=4$

$\Rightarrow \sqrt{(p+3{)}^2+q^2}=4+\sqrt{(p-3{)}^2+q^2}$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

$(p+3{)}^2+q^2=16+8\sqrt{(p-3{)}^2+q^2}+(p-3{)}^2+q^2$

$\Rightarrow p^2+6p+9+q^2=16+8\sqrt{(p-3{)}^2+q^2}+p^2-6p+9+q^2$

উভয়পক্ষ হতে সমজাতীয় পদ বাদ দিয়ে পাই,

$6p+6p-16=8\sqrt{(p-3{)}^2+q^2}$

$\Rightarrow 12p-16=8\sqrt{(p-3{)}^2+q^2}$

$\Rightarrow 4(3p-4)=8\sqrt{(p-3{)}^2+q^2}$

$\Rightarrow 3p-4=2\sqrt{(p-3{)}^2+q^2}$

পুনরায় উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

$(3p-4{)}^2=4\{(p-3{)}^2+q^2\}$

$\Rightarrow 9p^2-24p+16=4(p^2-6p+9+q^2)$

$\Rightarrow 9p^2-24p+16=4p^2-24p+36+4q^2$

$\Rightarrow 9p^2-4p^2-24p+24p-4q^2=36-16$

$\Rightarrow 5p^2-4q^2=20$

উভয়পক্ষকেদ্বারাভাগকরে$\Rightarrow \frac{5p^2}{20}-\frac{4q^2}{20}=\frac{20}{20}\left[\text{উভয়পক্ষকে }20\text{ দ্বারা ভাগ করে}\right]$

$\therefore \frac{p^2}{4}-\frac{q^2}{5}=1$

নির্ণেয় সঞ্চারপথের নাম:

প্রাপ্ত সমীকরণটি $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ আকারের।

সুতরাং এটি একটি অধিবৃত্ত (Hyperbola) নির্দেশ করে।

দেওয়া আছে,

$p\left(x\right)=x^2-ix-1$

তাহলে, $p\left(x\right)=0$ সমীকরণটি হলো:

$x^2-ix-1=0\dots \dots \left(i\right)$

প্রশ্নমতে, $\left(i\right)$ নং সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ এবং $\beta$।

আমরা জানি,

দ্বিঘাত সমীকরণ $a{x}^2+bx+c=0$ এর মূলদ্বয়ের যোগফল $=-\frac{b}{a}$ এবং গুণফল $=\frac{c}{a}$

$\therefore \alpha +\beta =-\frac{-i}{1}=i$

এবং $\alpha \beta =\frac{-1}{1}=-1$

এখন,

বামপক্ষ $={\alpha }^6+{\beta }^6$

$=({\alpha }^3{)}^2+({\beta }^3{)}^2$

$=({\alpha }^3+{\beta }^3{)}^2-2{\alpha }^3{\beta }^3$

$=\left\{\right(\alpha +\beta {)}^3-3\alpha \beta (\alpha +\beta ){\}}^2-2(\alpha \beta {)}^3$

মান বসিয়ে পাই,

$=\{i^3-3(-1\left)\right(i){\}}^2-2(-1{)}^3$

$=\{-i+3i{\}}^2-2(-1\left)\right[\because i^3=i^2\cdot i=-1\cdot i=-i]$

$=\{2i{\}}^2+2$

$=4i^2+2$

$=4(-1)+2[\because i^2=-1]$

$=-4+2$

$=-2$

$=$ ডানপক্ষ

$\therefore {\alpha }^6+{\beta }^6=-2$ (দেখানো হলো)