সৃজনশীলঃ ‘f(x)=xsin−1⁡x2g(x)=x2x2−4.…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২১ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^{-1}{\sin }^{-1}{x}^2$

$\therefore f\left(x\right)\mathrm{dx}=\int x^{-1}{\mathrm{in}}^{-1}xx$

$={\sin }^{-1}{x}^2\int xdx-\int \{\frac{d}{dx}{\sin }^{-1}{x}^2\int xdx\}dx$

$=\frac{x^2}{2}{\sin }^{-1}{x}^2-\int \frac{1}{\sqrt{1-x^4}}2x\cdot \frac{x^2}{2}dx$

$=\frac{x^2}{2}{\sin }^{-1}{x}^2-\int \frac{x^3}{\sqrt{1-x^4}}dx$

$=\frac{x^2}{2}{\sin }^{-1}{x}^2+\frac{1}{4}\int \frac{-4x^3}{\sqrt{1-x^4}}dx$

$=\frac{x^2}{2}{\sin }^{-1}{x}^2+\frac{1}{4}\int \frac{dz}{\sqrt{z}}$

$=\frac{x^2}{2}{\sin }^{-1}{x}^2+\frac{1}{4}\cdot 2\sqrt{z}+c$

$=\frac{x^2}{2}{\sin }^{-1}{x}^2+\frac{1}{4}\cdot \sqrt{1+x^4}+c$

নির্ণেয় যোগজ : $\frac{x^2}{2}{\sin }^{-1}{x}^2+\frac{1}{2}\sqrt{1-x^4}+c$.

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=\frac{x^2}{x^2-4}$

$\begin{array}{cc}& \therefore \int g\left(x\right)dx=\int \frac{x^2}{x^2-4}dx\\ & =\int \frac{(x^2-4)+4}{x^2-4}dx\\ & =\int (1+\frac{4}{x^2-4})dx\\ & =x+4\int \frac{1}{x^2-4}dx\\ & =x+4\int \frac{1}{x^2-2^2}dx\\ & =x+4\frac{1}{2\cdot 2}\ln \left|\frac{x-2}{x+2}\right|+c\\ & =x+\ln \left|\frac{x-2}{x+2}\right|+c\end{array}$

নির্ণেয় যোজিত ফল : $x+\ln \left|\frac{x-2}{x+2}\right|+c$.