সৃজনশীলঃ ‘f(x)=xtan−1⁡x,g(x)=logx⁡ah(x)=a+bcos⁡x.…’ যশোর বোর্ড ২০১৭ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

ধরি, $y=f\left(x\right)=x^{{\tan }^{-1}x}$

বা, $\ln y=\ln x^{{\tan }^{-1}x}$

বা, $\ln y=({\tan }^{-1}x)(\ln x)$

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\frac{d}{\mathrm{dx}}(\ln y)=\frac{d}{\mathrm{dx}}\left\{({\tan }^{-1}x)\right(\ln x\left)\right\}$

বা, $\frac{1}{y}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}={\tan }^{-1}x\left(\frac{1}{x}\right)+\ln x\cdot \frac{1}{1+x^2}$

$\therefore \frac{d}{\mathrm{dx}}\left(x^{{\tan }^{-1}x}\right)=x^{{\tan }^{-1}x}(\frac{{\tan }^{-1}x}{x}+\frac{\ln x}{1+x^2})$

আবার, ধরি, $y=g\left(x\right)={\log }_{x}a$

বা, $y={\log }_{e}a\times {\log }_{x}e$ বা, $y=\ln a\cdot \frac{1}{\ln x}$

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\frac{dy}{dx}=\ln a\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\ln x}\right)$

বা, $\frac{dy}{dx}=(\ln a)\frac{-1}{(\ln x{)}^2}\frac{d}{dx}(\ln x)$

$\therefore \frac{d}{dx}({\log }_{x}a)=\frac{-\ln a}{x(\ln x{)}^2}\text{ (Ans.) }$

দেওয়া আছে, $y=h\left(x\right)$

বা, $y=\sqrt{a+b\cos x}$ বা, $y^2=a+b\cos x$$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

বা$\frac{d}{\mathrm{dx}}\left(y^2\right)=\frac{d}{\mathrm{dx}}(a+b\cos x)\text{ বা, }2y\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=-b\sin x$

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\frac{d}{\mathrm{dx}}\left(2y\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)=\frac{d}{\mathrm{dx}}(-b\sin x)$

বা, $2y\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+2\frac{dy}{dx}\frac{dy}{dx}=-b\cos x$

বা, $2y\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+2{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2+a+b\cos x=a$

$\therefore 2y\frac{d^{2}y}{d^2}+2{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2+y^2=a$ [(i) নং হতে] (দেখানো হলো)