সৃজনশীলঃ ‘f(x,y)=4×2+5y2−16x+10y+1কণিকের একটি দিকাক্ষ…’ ঢাকা সিটি কলেজ ২০২৪ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

$f(x,y)=0$

বা, $4x^2+5y^2-16x+10y+1=0$

বা, $4(x^2-4x+4)+5(y^2+2y+1)=16+5-1$

বা, $4(x-2{)}^2+5(y+1{)}^2=20$

বা,$\frac{(x-2{)}^2}{5}+\frac{(x+1{)}^2}{4}=1$

বা, $\frac{(x-2{)}^2}{(\sqrt{5}{)}^2}+\frac{(y+1{)}^2}{(2{)}^2}=1$

সমীকরণটি উপবৃত্তের সমীকরণকে নির্দেশ করে।

উপবৃত্তের সাধারণ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$a=\sqrt{5},b=2,\alpha =2,\beta =-1\frac{(x-\alpha {)}^2}{a^2}+\frac{(y-\beta {)}^2}{b^2}=1$

এখানে, $a>b$

উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$

$=\sqrt{1-\frac{4}{5}}$

$=\frac{1}{\sqrt{5}}$

উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $=(\pm al+\alpha ,\beta )$

$=(\pm \sqrt{5}\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}+2,-1)$

$=(\pm 1+2,-1)$

$\therefore$উপকেন্দ্র দুটির স্থানাঙ্ক$(-1,-1)$ও$(3,-1)$,

উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, $x=\pm al$

বা, $x=\pm r_5\cdot \frac{1}{r_5}$

বা, $x=\pm 1$

$\therefore$ উপকেন্দ্রিক লম্ব দুটির সীকরণ: x -1 = 0 এবং x + 1 = 0

দেওয়া আছে, অধিবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ, x – 7 = 0

উপকেন্দ্রি , $s=(3,-5)$

উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{2}$

সংজ্ঞানুসারে,

$sp=l\cdot pm$

বা, $s{p}^2=e^2\cdot p{m}^2$

বা, $(x-3{)}^2+(y+5{)}^2=(\sqrt{2}{)}^2\cdot \frac{(x-7{)}^2}{1^2}$

বা $x^2-6x+9+y^2+10y+25=2\cdot (x^2-14x+49)$

বা, $x^2-6x+y^2+10y+34=2x^2-28x+98$

বা, $x^2-6x+y^2+10y+34-2x^2+28x-98=0$

বা, $y^2-x^2+22x+\log -64=0$

বা, $(y^2+10y+25)-(x^2-22x+121)=-32$

বা, $(y+5{)}^2-(x-11{)}^2=-32$

বা, $\frac{(x-11{)}^2}{32}-\frac{(y+5{)}^2}{32}=1$

যা নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ,

উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য = $2\frac{b^2}{a}$

$=2\cdot \frac{32}{\sqrt{3}2}$

$=2\cdot \sqrt{32}$

$=8\sqrt{2}$