সৃজনশীলঃ ‘f(x,y)=9×2+4y2−36,g(x)=cos⁡x.…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২২ – ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$g\left(x\right)=\cos x$

$g\left(lnx\right)=cos\left(lnx\right)$

${\int }_1^5\frac{1}{x}\sqrt{1-\left\{g\right(\ln x){\}}^2}\mathrm{dx}$

ধরি,

$z=\ln x$

$\Rightarrow \frac{dz}{dx}=\frac{1}{x}$

$\Rightarrow \mathrm{dz}=\frac{1}{x}\mathrm{dx}$

$={\int }_1^5\frac{1}{x}\sqrt{1-\{\cos (\ln x){\}}^2}\mathrm{dx}$

$={\int }_1^{\ln 5}\sqrt{1-{\cos }^{2}Z}dz$

$={\int }_1^{\ln 5}\sin zdz$$=-[\cos z{]}^{\ln 5}=-\cos (\ln 5)+\cos 0$

$=-\cos (\ln 5)+\frac{\pi }{2}$

নির্ণেয় মান, $-\cos (\ln 5)+\frac{\pi }{2}$

দেওয়া আছে, $f(x,y)=9x^2+4y^2-36$

এবং, $f(x,y)=0$

$\therefore 9x^2+4y^2-36=o-$ (i)

$9x^2+4y^2=36$

$\Rightarrow \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$

$x$ অক্ষের ছেদবিন্দুতে

$y=0$

(i) নং এ $y=o$ বসিয়ে,

$9x^2+4.0=36$

$\Rightarrow x^2=4$

$\Rightarrow X=\pm 2$

আবার, (i) নং হতে,

$4y^2-36-9x^2=0$

$\Rightarrow 4y^2=9x^2+36$

$\Rightarrow y^2=\frac{9}{4}(4-x^2)$

$\Rightarrow y=\pm \frac{3}{2}\sqrt{4-x^2}$

$\therefore$ আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল,

$=4{\int }_o^{2}ydx$

$=4{\int }_0^2\frac{3}{2}\sqrt{4-x^{2}dx}$

$=6{\int }_0^2\sqrt{4-x^2}\mathrm{dx}$

ধরি,

$x=2sin\theta$

$dx=2\cos \theta d\theta$

$=6{\int }_o^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{4-x^2}\cdot 2\cos \theta d\theta$

$=6{\int }_o^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{4{\cos }^2\theta }\cdot 2\cos \theta d\theta$

$=6{\int }_O^{\frac{\pi }{2}}2\cos \theta \cdot \cos \theta d\theta$

$=6{\int }_o^{\frac{\pi }{2}}4{\cos }^2\theta d\theta$

$=6\times 2{\int }_o^{\frac{\pi }{2}}4{\cos }^2\theta d\theta$

$=6{\int }_o^{\frac{\pi }{2}}(1+{\cos }^2\theta )d\theta$

$={[\theta +\frac{\sin \theta }{-2}]}^{\frac{\pi }{2}}$

$=12[\frac{\pi }{2}+\frac{\sin \pi }{2}-o+o]$

$=12\times \frac{\pi }{2}+12\times 0$

$=6\pi$ বর্গ একক।

$\therefore$ নির্ণেয় কণিক দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $6\pi$ বর্গ একক।