সৃজনশীলঃ ‘f(x,y)=x2−4y2−6x−16y−11এবং g(x,y) =…’ যশোর বোর্ড ২০২৩ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f(x,y)=x^2-4y^2-6x-16y-11$

এবং $f(x,y)=0$

$\therefore x^2-4y^2-6x-16y-11=0$

বা, $(x^2-6x)-4(y^2+4y)-11=0$

বা, $(x^2-2\cdot x\cdot 3+3^2)-4(y^2+2\cdot y\cdot 2+2^2)-11-9+16=0$

বা, $(x-3{)}^2-4(y+2{)}^2=4$

বা, $\frac{(x-3{)}^2}{4}-\frac{(y+2{)}^2}{1}=1$. ........ (1)

সমীকরণ (1) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ।

সমীকরণ (1) কে $\frac{X^2}{a^2}-\frac{Y^2}{b^2}=1$ এর সাথে তুলনা করে পাই,

$X=x-3,Y=y+2$

$a=4$ বা, $a=2,b^2=1$ বা, b = 1

উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$

উপকেন্দ্র ( $\pm \mathrm{ae},0)$

অর্থাৎ, $X=\pm ae$

বা, $x-3=\pm 2\cdot \frac{\sqrt{5}}{2}$

$\therefore x=3+\sqrt{5}$

এবং $Y=0$

বা, $y+2=0$

বা, $y=-2$

অথবা, $x=3-\sqrt{5}$

$\therefore$ উপকেন্দ্রদ্বয় $S(3+\sqrt{5},-2)$ ও $S^{\prime }(3-\sqrt{5},-2)$

$\therefore$ উপকেন্দ্রদ্রেয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব

$S{S}^{\prime }=\sqrt{(3+\sqrt{5}-3+\sqrt{5}{)}^2+(2-2{)}^2}$

$=\sqrt{(2\sqrt{5}{)}^2}=2\sqrt{5}$

অতএব, কনিকটি একটি অধিবৃত্ত এবং এর উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব $2\sqrt{5}$ একক।

দেওয়া আছে, $g(x,y)=4y^2-20x-4y+30$

এবং $g(x,y)=4y-9$

$\therefore 4y^2-20x-4y+30=4y-9$

বা, $4y^2-4y-4y=20x-9-30$

বা, $4y^2-8y=20x-39$

বা, $4(y^2-2y)=20x-39$

বা, $4(y^2-2y\cdot 1+1)=20x-39+4$

বা, $4(y-1{)}^2=20x-35$

বা, $(y-1{)}^2=5x-\frac{35}{4}=5(x-\frac{7}{4})$ ............. (1)

$Y^2=4\mathrm{aX}$ যা একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।

এখানে, $X=x-\frac{7}{4},Y=y-1$

একে পরাবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ $y^2=4ay$ এর সাথে তুলনা করে পাই, $4a=5\therefore a=\frac{5}{4}$

অক্ষরেখার সমীকরণ $Y=0$ অর্থাৎ, $y-1=0$ বা, $y=1$ ......... (2)

নিয়ামক রেখার সমীকরণ, $X=-a$

অর্থাৎ, $x-\frac{7}{4}=-\frac{5}{4}$

বা, $x=\frac{7}{4}-\frac{5}{4}=\frac{7-5}{4}=\frac{2}{4}$

$\therefore x=\frac{1}{2}$ ....... (3)

(2) ও (3) নং হতে পাই, $x=\frac{1}{2},y=1$

$\therefore$ অক্ষরেখা ও নিয়ামক রেখার ছেদবিন্দু $(\frac{1}{2},1)$.