সৃজনশীলঃ ‘f(x,y)=x2+px+y2,g(x)=tan−1⁡x.…’ বরিশাল বোর্ড ২০২১ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f(x,y)=x^2+\mathrm{px}+y^2$

এবং $f(x,y)=0$

$\therefore x^2+\mathrm{px}+y^2=0..........\left(i\right)$

X-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরন করে পাই,

$2x+p+2y\frac{dy}{dx}=0$

$\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=-2x-p$

$\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=-(2x+p)$

$\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{(2x+p)}{2y}$

$\therefore \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}=-\frac{2y}{(2x+p)}$

স্পর্শকের ক্ষেত্রে ,

$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\tan {90}^{\circ }$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}=\frac{1}{\tan {90}^{\circ }}$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}=\cot {90}^{\circ }$

$\therefore \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}=0$

অর্থাৎ, $-\frac{2y}{2x+p}=0$

$\therefore y=0$

$y=0$ (i) নং সমীকরনে বসিয়ে পাই,

$x^2+\mathrm{px}+0^2=0$

$\Rightarrow x^2+\mathrm{px}=0$

$\Rightarrow x(x+p)=0$

$\therefore x=0$ অथবা, $x=-p$

$\therefore x$ অক্ষের উপর লম্ব স্পর্শকগুলো $(0,0)$

ও $(-p,0)$বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)={\tan }^{-1}x$

এবং ${\tan }^{-1}y=ng\left(x\right)$

$\Rightarrow {\tan }^{-1}y=n{\tan }^{-1}x$

$\Rightarrow y=\tan (n{\tan }^{-1}x)$

$\Rightarrow \frac{d}{dx}\left(y\right)=\frac{d}{dx}[\tan (n{\tan }^{-1}x)]$

$\begin{array}{cc}& \Rightarrow y_1={\sec }^2(n{\tan }^{-1}x)\frac{d}{dx}(n{\tan }^{-1}x)\\ & [\because \frac{d}{dx}(\tan x)={\sec }^{2}x]\\ & \Rightarrow y_1={\sec }^2(n{\tan }^{-1}x)\cdot \frac{n}{1+x^2}\\ & [\because \frac{d}{dx}({\tan }^{-1}x)=\frac{1}{1+x^2}]\\ & \Rightarrow y_1(1+x^2)=n{\sec }^2(n{\tan }^{-1}x)\\ & \Rightarrow y_1(1+x^2)=n[1+{\tan }^2(n{\tan }^{-1}x)]\\ & \Rightarrow y_1(1+x^2)=n(1+y^2)\\ & \Rightarrow \frac{d}{dx}\left\{y_1(1+x^2)\right\}=\frac{d}{dx}\left[n(1+y^2)\right]\\ & \Rightarrow y_1\frac{d}{dx}(1+x^2)+(1+x^2)\frac{d}{dx}\left(y_1\right)=n\frac{d}{dx}(1+y^2)\\ & \Rightarrow y_1(0+2x)+(1+x^2)y_2=n(0+2y{y}_1)\\ & \Rightarrow y_1\cdot 2x+(1+x^2)y_2=n\cdot 2y{y}_1\\ & \Rightarrow (1+x^2)y_2-2ny{y}_1+2x{y}_1=0\\ & \therefore (1+x^2)y_2-2(ny-x)y_1=0\text{ [Proved] }\end{array}$