সৃজনশীলঃ ‘f(x,y)=x2−y2,g(x)=x−1 এবং h(x)=x216−x2…’ ২০২৬ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $h\left(x\right)=x^2\sqrt{16-x^2}$

ধরি, $x=4\sin \theta$
বা, dx = $4\cos \theta d\theta$

$\therefore {\int }_{-2}^{2}h\left(x\right)dx={\int }_{-2}^2{x}^2\sqrt{16-x^2}dx$ 

$={\int }_{-\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}16{\sin }^2\theta \cdot \sqrt{16-16{\sin }^2\theta }4\cos \theta d\theta$

$\frac{\pi }{6}{\int }_{-\frac{\pi }{6}}16{\sin }^2\theta \cdot 4\sqrt{1-{\sin }^2\theta }\cdot 4\cos \theta d\theta$

$=64{\int }_{-\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}4{\sin }^2\theta \cdot {\cos }^2\theta d\theta =64{\int }_{-\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}(2\sin \theta \cdot \cos \theta {)}^{2}d\theta$

$=64{\int }_{-\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}{\sin }^{2}2\theta d\theta =32{\int }_{-\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}2{\sin }^{2}2\theta d\theta$

$=32{\int }_{-\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}(1-\cos 4\theta )d\theta =32{[\theta -\frac{\sin 4\theta }{4}]}_{-\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}$

$=32[(\frac{\pi }{6}-\frac{\sin \frac{2\pi }{3}}{4})-(\frac{-\pi }{6}+\frac{\sin \frac{2\pi }{3}}{4})]$

$=32(\frac{\pi }{6}-\frac{\sin \frac{2\pi }{3}}{4}+\frac{\pi }{6}-\frac{\sin \frac{2\pi }{3}}{4})=32(\frac{2\pi }{6}-2\times \frac{\sin \frac{2\pi }{3}}{4})$
$=32(\frac{\pi }{3}-2\times \frac{\sqrt{3}}{4})=32(\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{4})=\frac{32\pi }{3}-8\sqrt{3}$

নির্ণেয় মান : $\frac{32\pi }{3}-8\sqrt{3}$.

দেওয়া আছে, $f(x,y)=x^2-y^2$ এবং $g\left(x\right)=x-1$

আবার, $g\left(x\right)=0$
বা, $x-1=0$
বা, $x=1$

আবার, $f(x,y)=0$
বা, $x^2-y^2=0$
বা, $y^2=x^2$
বা, $y=\pm x$
অর্থাৎ, $y=x$ এবং $y=-x$

$\therefore f(x,y)=0$ এবং $g\left(x\right)=0$ দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
$=2{\int }_0^{1}y\mathrm{dx}$ বর্গ একক $=2{\int }_0^{1}x\mathrm{dx}$ বর্গ একক
$=2{\left[\frac{x^2}{2}\right]}_0^1$ বর্গ একক $=2(\frac{1}{2}-0)$ বর্গ একক
$=2\times \frac{1}{2}$ বর্গ একক $=1$ বর্গ একক
নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 1 বর্গ একক।