সৃজনশীলঃ ‘F(x,y)=x2+y2…’ ঝিনাইদহ ক্যাডেট কলেজ ২০২৪ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f(x,y)=x^2+y^2$

এবং$x=\sqrt{a}\sin \theta \therefore x^2={\mathrm{asin}}^2\theta$

এবং$y=\sqrt{b}\cos \theta \therefore y^2=b{\cos }^2\theta$

$\therefore {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{d\theta }{F(x,y)}={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{d\theta }{x^2+y^2}={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{d\theta }{{\mathrm{asin}}^2\theta +b{\cos }^2\theta }$

$={\int }_0^{\pi /2}\frac{{\sec }^2\theta d\theta }{b+a{\tan }^2\theta }=\frac{1}{\sqrt{a}}{\int }_0^{\infty }\frac{dz}{(\sqrt{b}{)}^2+z^2}$

$=\frac{1}{\sqrt{a}}{[\frac{1}{\sqrt{b}}{\tan }^{-1}\frac{z}{\sqrt{b}}]}_0^{\infty }$

$=\frac{1}{\sqrt{a}}\cdot \frac{1}{\sqrt{b}}\cdot \frac{\pi }{2}$

$=\frac{\pi }{2\sqrt{ab}}\text{ (Ans.) }$

দেওয়া আছে

$F(x,y)=x^2+y^2$

আবার, $F(x,y)=80$

বা, $x^2+y^2=80$

বা, $y^2=80-x^2$

$\therefore y=\sqrt{(4\sqrt{5}{)}^2-x^2}$

$\therefore$ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল$=2{\int }_0^{4\sqrt{5}}ydx$

$=2{\int }_0^{4\sqrt{5}}\sqrt{80-x^2}dx$

$=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{80-80{\sin }^2\theta }4\sqrt{5}\cos \theta d\theta$

$=2\times 80{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^2\theta d\theta$

$=80{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1+\cos 2\theta )d\theta =80{[\theta +\frac{\sin 2\theta }{2}]}_0^{\frac{\pi }{2}}$

$=80(\frac{\pi }{2}+0-0-0)=40\pi$বর্গএকক (Ans.)