সৃজনশীলঃ ‘f(x,y)=x2+y2+6x−2y−15g(x)=cos⁡xsin3⁡x…’ ২০২৫ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=\sqrt{\cos x}{\sin }^{3}x$

$\therefore {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}g\left(x\right)dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{\cos x}{\sin }^{3}xdx$

$={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{\cos x}{\sin }^{2}x\sin xdx$

$\frac{\pi }{2}$

$={\int }_0\sqrt{\cos x}(1-{\cos }^{2}x)\sin xdx$

ধরি, $\cos x=y$

বা, $-\sin xdx=dy$

$={\int }_1^0-\sqrt{y}(y-y^2)dy$

$={\int }_0^1(y^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}+2})dy$

$={\int }_0^1(y^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{5}{2}})dy$

$={\left[\frac{y^{\frac{1}{2}}+1}{\frac{1}{2}+1}\right]}_0^1-{\left[\frac{y^{\frac{5}{2}}+1}{\frac{5}{2}+1}\right]}_0^1={\left[\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}\right]}_0^1-{\left[\frac{\frac{7}{2}}{\frac{7}{2}}\right]}_0^1$

$={\left[\frac{2}{3}{y}^{\frac{3}{2}}\right]}_0^1-{\left[\frac{2}{7}{y}^{\frac{7}{2}}\right]}_0^1=\frac{2}{3}-0-\frac{2}{7}+0=\frac{14-6}{21}=\frac{8}{21}$

নির্ণেয় মান : $\frac{8}{21}$.

দেওয়া আছে, $f(x,y)=x^2+y^2+6x-2y-15$

আবার, $f(x,y)=0$

বা, $x^2+y^2+6x-2y-15=0$

বা, $x^2+6x+9+y^2-2y+1=25$

বা, $(x+3{)}^2+(y-1{)}^2=5^2$ ......... (1)

বৃত্তটির কেন্দ্র $(-3,1)$ এরং ব্যাসার্ধ, $r=5$

$x$-অক্ষের সমীকরণ, $y=0$

বৃত্তটি $x$ অক্ষকে $A$ ও B বিন্দুতে ছেদ করে।

(1) নং সমীকরণে $y=0$ বসিয়ে পাই,

$(x+3{)}^2+1=25$

বা, $(x+3{)}^2=24$

বা, $x+3=\pm 2\sqrt{6}$

$\therefore x=-3\pm 2\sqrt{6}$

$\therefore A(-3+2\sqrt{6},0)$ এবং $B(-3-2\sqrt{6},0)$

(1) নং হতে পাই, $(y-1{)}^2=5^2-(x+3{)}^2$

বা, $y-1=\pm \sqrt{5^2-(x+3{)}^2}$

বা, $y=1\pm \sqrt{5^2-(x+3{)}^2}$

$x$-অক্ষের নিচে $y$ ঋণাত্মক অর্থাৎ $y=1-\sqrt{5^2-(x+3{)}^2}$

ধরি, $y=0=y_1$

এবং $y=1-\sqrt{5^2-(x+3{)}^2}=y_2$

$\therefore$ (1) নং বৃত্ত এবং x-অক্ষ দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রফল,

${\int }_{-3-2\sqrt{6}}^{-3+2\sqrt{6}}(y_1-y_2)dx$

$={\int }_{-2\sqrt{6}}^{-3+2\sqrt{6}}[0-(1-\sqrt{5^2-(x+3{)}^2}]dx$

$={\int }_{-3-2\sqrt{6}}^{-3+2\sqrt{6}}[-1+\sqrt{5^2-(x+3{)}^2}]d(x+3)$

$=-[x+3{]}_{-3-2\sqrt{6}}^{-3+2\sqrt{6}}+{[\frac{(x+3)\sqrt{5^2-(x+3{)}^2}}{2}+\frac{5^2}{2}{\sin }^{-1}\frac{x+3}{5}]}_{-3-2\sqrt{6}}^{-3+2\sqrt{6}}$

$[\because \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2}{\sin }^{-1}\frac{x}{a}+c]$

$\begin{array}{cc}& =-[-3+2\sqrt{6}+3+2\sqrt{6}]+[\sqrt{6}+\frac{25}{2}{\sin }^{-1}\frac{2\sqrt{6}}{5}+\sqrt{6}-\frac{25}{2}{\sin }^{-1}\left(\frac{-2\sqrt{6}}{5}\right)]\end{array}$

$=-4\sqrt{6}+[2\sqrt{6}+3+2\sqrt{6}]+\frac{25}{2}{\sin }^{-1}\frac{2\sqrt{6}}{5}+\sqrt{6}-\frac{25}{2}{\sin }^{-1}(\frac{2\sqrt{6}}{5}+\frac{25}{2}{\sin }^{\frac{2\sqrt{6}}{5}}]$

$=-4\sqrt{6}+2\sqrt{6}+25{\sin }^{-1}\frac{2\sqrt{6}}{5}$

$=25{\sin }^{-1}\frac{2\sqrt{6}}{5}-2\sqrt{6}$

নির্ণেয় সীমাবদ্ধ ক্ষদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল $(25{\sin }^{-1}\frac{2\sqrt{6}}{5}-2\sqrt{6})$