সৃজনশীলঃ ‘f(x,y)=x3+xy2−3×2+4x+3y;g(x)=12×4−x3−x2…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৫ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f(x,y)=x^3+x{y}^2-3x^2+4x+3y$

এখন, $f(x,y)=0$ হলে, $x^3+{\mathrm{xy}}^2-3x^2+4x+3y=0$

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\frac{d}{dx}(x^3+x{y}^2-3x^2+4x+3y)=0$

বা, $3x^2+y^2+2xy\frac{dy}{dx}-6x+4+3\frac{dy}{dx}=0$

বা, $\frac{dy}{dx}(2xy+3)=-3x^2-y^2+6x-4$

বা, $\frac{dy}{dx}=\frac{-3x^2-y^2+6x-4}{2xy+3}$

$\therefore (1,-1)$ বিন্দুতে, $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{-3-1+6-4}{-2+3}=-2$

$\therefore (1,-1)$ বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল,

$m_{\perp }=-\frac{1}{\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}}=\frac{1}{2}$

$(1,-1)$ বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের সমীকরণ,

$y+1=\frac{1}{2}(x-1)$

বা, $2y+2=x-1$

বা, $x-2y-3=0$

নির্ণেয় অভিলম্বের সমীকরণ, $x-2y-3=0$.

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^4-x^3-x^2$

ধরি, $y=g\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^4-x^3-x^2$

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\times 4x^3-3x^2-2x$

পুনরায় $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=6x^2-6x-2$

চরমমানের জন্য $\frac{dy}{dx}=0$

বা, $2x^3-3x^2-2x=0$

বা, $x(2x^2-3x-2)=0$

বা, $x(2x^2-4x+x-2)=0$

বা, $x\left\{\right(2x(x-2)+1(x-2)\}=0$

বা, $x(x-2)(2x+1)=0$

$\therefore x=-\frac{1}{2},0,2$

$[0,2]$ ব্যবধিতে, $x=0,2$

এখন, $x=0$ হলে, $\frac{d^{2}y}{{\mathrm{dx}}^2}=(6\times 0^2)-(6\times 0)-2=-2<0$

সুতরাং $x=0$ বিন্দুতে $g\left(x\right)$ ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান বিদ্যমান।

$\therefore$ সর্বোচ্চ মান, $y_{\text{max }}=\frac{1}{2}{0}^4-0^3-0^2=0$

আবার, $x=2$ হলে, $\frac{d^{2}y}{{\mathrm{dx}}^2}=(6\times 2^2)-(6\times 2)-2=10>0$

সুতরাং $x=2$ বিন্দুতে $g\left(x\right)$ ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান বিদ্যমান।

$\therefore$ সর্বনিম্ন মান, $y_{min}=\frac{1}{2}{2}^4-2^3-2^2=-4$

$\therefore [0,2]$ ব্যবধিতে $g\left(x\right)$ ফাংশনটির চরম মান তথা সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান যথাক্রমে 0 ও $-4.$