সৃজনশীলঃ ‘f(x,y)=y(x−2)(x−3)−x+7এবং g(u)=u3−3u2−45u+13 দুইটি…’ আদমজী ক্যান্টনমেন্ট কলেজ ২০২৫ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f(x,y)=y(x-2)(x-3)-x+7$

$\because f(x,y)=0\therefore y(x-2)(x-3)-x+7=0$
বা, $y(x^2-5x+6)-x+7=0\dots ....\left(i\right)$
$x$-অক্ষের ছেদ বিন্দুতে $y$ স্থানাঙ্ক । অর্থাৎ,$y=0$

$\begin{array}{cc}& 0-x+7=0\\ \therefore & x=7\end{array}$

ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (7,0)

(i) নং কে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$(x^2-5x+6)\frac{dy}{dx}+y(2x-5)-1=0$
বা, $(x^2-5x+6)\frac{dy}{dx}=1-y(2x-5)$
বা, $\frac{dy}{dx}=\frac{1-y(2x-5)}{x^2-5x+6}$
$(7,0)$ বিন্দুতে, $\frac{dy}{dx}=\frac{1-0}{7^2-5.7+6}=\frac{1}{49-35+6}=\frac{1}{20}$

$\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{1}{20}$ এবং $\frac{dx}{dy}=20.$

$\therefore (7,0)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, $y-y_1=-\frac{dy}{dx}(x-x_1)$

$y-0=\frac{1}{20}(x-7)$

বা, $20y=x-7$

$\therefore x-20y-7=0$

এবং (7, 0) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ, $y-y_1=-\frac{dy}{dx}(x-x_1)$

$y-0=-20(x-7)$

বা, $y=-20x+140$

$\therefore 20x+y-140=0$

নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ  $x-20y-7=0$

এবং অভিলম্বের সমীকরণ $20x+y-140=0$

দেওয়া আছে, $g\left(u\right)=u^3-3u^2-45u+13$

$\therefore g^{\prime }\left(u\right)=3u^2-6u-45$

এবং $g^{\prime \prime }\left(u\right)=6u-6$

গুরুমান ও লঘুমানের জন্য $g^{\prime }\left(u\right)=0$

বা, $3u^2-6u-45=0$
বা, $u^2-2u-15=0$
বা, $u^2-5u+3u-15=0$
বা, $u(u-5)+3(u-5)=0$
বা, $(u-5)(u+3)=0$
$\therefore u=-3,5$

এখন $u=-3$ হলে, $g^{\prime \prime }(-3)6\times (-3)-6=-24<0$

∴ $u=-3$ এর জন্য ফাংশনটির গুরুমান বিদ্যমান।

এবং গুরুমানটি হলো $g(-3)=(-3{)}^3-3(-3{)}^2-45(-3)+13$

$=94$

আবার, $u=5$ হলে, $g^{\prime \prime }\left(5\right)=6\times 5-6=24>0$

∴ $u=5$ এর জন্য ফাংশনটির লঘুমান বিদ্যমান

এবং লঘুমান হলো, $g\left(5\right)=5^3-{3.5}^2-45.5+13$

$=125-75-225+13=-162$

নির্ণেয় ফাংশনটির গুরুমান $=94$ এবং লঘুমান $=–162$