সৃজনশীলঃ ‘f(x,y)=y2−4x−6y+20g(x)=x3−6×2+9x+1…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৩ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f(x,y)=0$

$\Rightarrow y^2-4x-6y+20=0$

$\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}-4-6\frac{dy}{dx}+0=0$

$\Rightarrow (2y-6)\frac{dy}{dx}=4$

$\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{4}{2y-6}=\frac{2}{y-3}$

$\therefore (3,2)$ বিন্দুতে ঢাল, $\mathrm{tr},{\frac{dy}{dx}|}_{(3,2)}=\frac{2}{2-3}=-2$

$(y-2)=-2(x-3)$

$\Rightarrow y-2=-2x+6$

$\Rightarrow 2x+y-8=0$

এবং $(3,2)$ বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ :

$(y-2)=\frac{1}{2}(x-3)$

$\Rightarrow 2y-4=x-3$

$\therefore x-2y+1=0$

দেওয়া আছে,

$g\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+1$

$\Rightarrow g^{\prime }\left(x\right)=3x^2-12x+9$

$\Rightarrow g^{\prime \prime }\left(x\right)=6x-12$

$\therefore$ গুরুমান ও লঘুমানের জন্য $g^{\prime }\left(x\right)=0$ হবে।

$\Rightarrow 3x^2-12x+9=0$

$\Rightarrow x^2-4x+3=0$

$\Rightarrow x^2-3x-x+3=0$

$\Rightarrow x(x-3)-1(x-3)=0$

$\Rightarrow (x-3)(x-1)=0$

$\therefore x=1.3$

$x=1$ বিন্দুতে $g^{\prime \prime }\left(x\right)=6-12=-6<0$

$\therefore x=1$ বিন্দুতে $g\left(x\right)$ এর গুরুমান বিদ্যমান।

$\therefore$ বিন্দুতে $g\left(1\right)=1^3-6\cdot (1{)}^2+9\cdot 1+1$

$=1-6+9+1$

$=5$

আবার, x = 3 বিন্দুতে $g^{\prime \prime }\left(3\right)=18-12=6>0$

$\therefore x=3$ বিন্দুতে g(x) এর লঘুমান বিদ্যমান

$\therefore$ লঘুচাপ $g\left(3\right)=3^3-6\cdot (3{)}^2+9\cdot 3+1$

$=27-54+27+1$

$=1$

$\therefore$নির্ণেয় লঘু ও গুরুমান যথাক্রমে 1 ও 5