সৃজনশীলঃ ‘F(x,y,z)=18×3+127y3+164z3 এবং Q(x)=x3−64x.…’ ঢাকা বোর্ড ২০২৪ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $F(x,y,z)=\frac{1}{8x^3}+\frac{1}{27y^3}+\frac{1}{64z^3}$

এখন, $F(x,y,z)=\frac{3}{24\mathrm{xyz}}$ হলে,

$\frac{1}{8x^3}+\frac{1}{27y^3}+\frac{1}{64z^3}=\frac{3}{24xyz}$

বা, $\frac{1}{(2x{)}^3}+\frac{1}{(3y{)}^3}+\frac{1}{(4z{)}^3}-\frac{3}{24xyz}=0$

বা, ${\left(\frac{1}{2x}\right)}^3+{\left(\frac{1}{3y}\right)}^3+{\left(\frac{1}{4z}\right)}^3-3\cdot \frac{1}{2x}\cdot \frac{1}{3y}\cdot \frac{1}{4z}=0$

বা, $\frac{1}{2}(\frac{1}{2x}+\frac{1}{3y}+\frac{1}{4z})\{{(\frac{1}{2x}-\frac{1}{3y})}^2+{(\frac{1}{3y}-\frac{1}{4z})}^2+{(\frac{1}{4z}-\frac{1}{2x})}^2\}=0$

বা, $(\frac{1}{2x}+\frac{1}{3y}+\frac{1}{4z})\{{(\frac{1}{2x}-\frac{1}{3y})}^2+{(\frac{1}{3y}-\frac{1}{4z})}^2+{(\frac{1}{4z}-\frac{1}{2x})}^2\}=0$

হয় $(\frac{1}{2x}+\frac{1}{3y}+\frac{1}{4z})=0$

বা, $\frac{1}{2x}+\frac{1}{3y}+\frac{1}{4z}=0$

বা, $\frac{12yz+8zx+6xy}{24xyz}=0$

বা, $12yz+8zx+6xy=0$

$\therefore 6yz+4zx+3xy=0$

অথবা, ${(\frac{1}{2x}-\frac{1}{3y})}^2+{(\frac{1}{3y}-\frac{1}{4z})}^2+{(\frac{1}{4z}-\frac{1}{2x})}^2=0$

কিন্তু কতগুলো বর্গরাশির সমষ্টি শূন্য হলে তাদের প্রত্যেকটির মান পৃথকভাবে শূন্য হবে।

অর্থাৎ ${(\frac{1}{2x}-\frac{1}{3y})}^2=0$

বা, $\frac{1}{2x}-\frac{1}{3y}=0$

বা, $\frac{1}{2x}=\frac{1}{3y}$

$\therefore 2x=3y$

অথবা, ${(\frac{1}{3y}-\frac{1}{4z})}^2=0$

বা, $\frac{1}{3y}-\frac{1}{4z}=0$

বা, $\frac{1}{3y}=\frac{1}{4z}$

$\therefore 3y=4z$

অথবা, ${(\frac{1}{4z}-\frac{1}{2x})}^2=0$

বা, $\frac{1}{4z}-\frac{1}{zx}=0$

বা, $\frac{1}{4z}=\frac{1}{2x}$

$\therefore 4z=2x$

সুতরাং, $6xy+4zx+3xy=0$ অথবা, $2x=3y=4z$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $Q\left(x\right)=x^3-64x$

$\therefore \frac{3x^3}{Q\left(x\right)}=\frac{3x^3}{x^3-64x}=\frac{3x^3}{x(x^2-64)}=\frac{3x^2}{x^2-64}=\frac{3x^2}{(x+8)(x-8)}$

ধরি, $\frac{3x^2}{(x+8)(x-8)}\equiv 3+\frac{A}{x+8}+\frac{B}{x-8}$......(1)

(1) নং এর উভয়পক্ষকে $(x+8)(x-8)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$3x^2\equiv 3(x+8)(x-8)+A(x-8)+B(x+8)$.........(2)

(2) নং এ $x=-8$ বসিয়ে পাই,

$3(-8{)}^2=3.0+A(-8-8)+B\cdot 0$

বা, $3\times 64=-16A$

বা, $192=-16\dot{A}$

বা, $A=-\frac{192}{16}=-12$

আবার, (2) নং এ x=8 বসিয়ে পাই,

${3.8}^2=3.0+A.0+B(8+8)$

বা, $3\times 64=0+0+16B$

বা, $192=16B$

বা, $B=\frac{192}{16}=12$

এখন, A ও B এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$\frac{3x^2}{(x+8)(x-8)}\equiv 3+\frac{-12}{x+8}+\frac{12}{x-8}=3-\frac{12}{x+8}+\frac{12}{x-8}$

যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।