সৃজনশীলঃ ‘F(x,y,z)=x−3+y−3+z−3−3x−1y−1z−1 এবংa=y+z−x, b=z+x−y,c=x+y−z…’ ঢাকা বোর্ড ২০২২

$F (x, y, z) = x^{- 3} + y^{- 3} + z^{- 3} - 3 x^{- 1} y^{- 1} z^{- 1}$ এবং
$a = y + z - x, b = z + x - y, c = x + y - z$

উত্তর:

প্রদত্ত রাশি $= \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$
ধরি, $f (a, b, c) = \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$
এখন, প্রদত্ত রাশিটিতে a এর পরিবর্তে $b, b$ এর পরিবর্তে c ও c এর পরিবর্তে a বসিয়ে পাই,

$f (b, c, a) = \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{a}{b} = \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = f (a, b, c)$

অর্থাৎ, $f (b, c, a) = f (a, b, c)$
এখানে, চক্রাকারে $a$ এর পরিবর্তে b, b এর পরিবর্তে c, c এর পরিবর্তে a বসালে রাশিটি একই থাকে।
সুতরাং $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$ রাশিটি $a, b, c$ চলকের চক্রক্রমিক রাশি। (দেখানো হলো)

উত্তর:

দেওয়া আছে, $F (x, y, z) = x^{- 3} + y^{- 3} + z^{- 3} - 3 x^{- 1} y^{- 1} z^{- 1}$
$F (x, y, z) = 0$ হলে, $x^{- 3} + y^{- 3} + z^{- 3} - 3 x^{- 1} y^{- 1} z^{- 1} = 0$
বা, $\frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{y^{3}} + \frac{1}{z^{3}} - 3 \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{z} = 0$
বা, ${(\frac{1}{x})}^{3} + {(\frac{1}{y})}^{3} + {(\frac{1}{z})}^{3} - 3 \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{z} = 0$
বা, $\frac{1}{2} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) {{(\frac{1}{x} - \frac{1}{y})}^{2} + {(\frac{1}{y} - \frac{1}{z})}^{2} + {(\frac{1}{z} - \frac{1}{x})}^{2}} = 0$
বা, $(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) {{(\frac{1}{x} - \frac{1}{y})}^{2} + {(\frac{1}{y} - \frac{1}{z})}^{2} + (\frac{1}{z} - \frac{1}{x})} = 0$
হয়, $(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) = 0$
বা, $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$ বা, $\frac{y z + z x + x y}{x y z} = 0$

$∴ x y + y z + z x = 0$

অথবা, ${(\frac{1}{x} - \frac{1}{y})}^{2} + {(\frac{1}{y} - \frac{1}{z})}^{2} + {(\frac{1}{z} - \frac{1}{x})}^{2} = 0$

কিন্তু, কতগুলো বর্গের সমষ্টি শূন্য হলে এদের প্রত্যেকটির মান পৃথকভাবে শূন্য হবে।

অর্থাৎ; ${(\frac{1}{x} - \frac{1}{y})}^{2} = 0$
বা, $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 0$
বা, $\frac{1}{x} = \frac{1}{y}$
বা, $x = y$

$∴ X = v = z$

${(\frac{1}{y} - \frac{1}{z})}^{2} = 0$

বা, $\frac{1}{y} - \frac{1}{z} = 0$
বা, $\frac{1}{y} = \frac{1}{z}$
বা, $y = z$

${(\frac{1}{z} - \frac{1}{x})}^{2} = 0$

বা, $\frac{1}{z} - \frac{1}{x} = 0$
বা, $\frac{1}{z} = \frac{1}{x}$

$∴ z = x$

$∴ x = y = z$

অতএব, $xy + yz + zx = 0$ এবং $x = y = z$ . (প্রমাণিত)

উত্তর:

দেওয়া আছে, $a = y + z - x, b = z + x - y$ এবং $c = x + y - z$

$∴ a + b + c = y + z - x + z + x - y + x + y - z = x + y + z$

এবং $a - b = y + z - x - z - x + y = 2 y - 2 x = - 2 (x - y)$

$∴ (a - b)^{2} = 4 (x - y)^{2}$

অনুরূপভাবে, $(b - c)^{2} = 4 (y - z)^{2}$ এবং $(c - a)^{2} = 4 (z - x)^{2}$
বামপক্ষ $= a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 abc$

$\begin{matrix} = \frac{1}{2} (a + b + c) {(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2}} \\ = \frac{1}{2} (x + y + z) {4 (x - y)^{2} + 4 (y - z)^{2} + 4 (z - x)^{2}} \\ = 4 \frac{1}{2} (x + y + z) . {(x - y)^{2} + (y - z)^{2} + (z - x)^{2}} \end{matrix}$

$= 4 (x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z) =$ ডানপক্ষ

অর্থাৎ $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 abc = 4 (x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 xyz)$ . (প্রমাণিত)

A. Nayan

2 Jun 2026 (3 months ago)

সৃজনশীলঃ ‘F(x,y,z)=x−3+y−3+z−3−3x−1y−1z−1 এবংa=y+z−x, b=z+x−y,c=x+y−z…’ ঢাকা বোর্ড ২০২২ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর

A. Nayan

2 Jun 2026 (3 months ago)

texthide = ""; texthide = texthide.substring(1) document.write(texthide);

সৃজনশীলঃ ‘F(x,y,z)=x−3+y−3+z−3−3x−1y−1z−1 এবংa=y+z−x, b=z+x−y,c=x+y−z…’ ঢাকা বোর্ড ২০২২ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর