সৃজনশীলঃ ‘f(y)=y2 এবং g(y)=2−y2…’ ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল অ্যান্ড কলেজ ২০২৪ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$\begin{array}{cc}f\left(y\right)=y^2& g\left(y\right)=2-y^2\\ \therefore f\left(x\right)=x^2& g\left(x\right)=2-x^2\end{array}$

$\therefore \int \frac{1}{g\left(x\right)f\left(x\right)}dx=\int \frac{1}{(2-x^2)x^2}dx$

$\frac{1}{x^2(2-x^2)}\equiv \frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{Cx+D}{2-x^C}....\left(i\right)$

উভয়পক্ষকে হরগুলোর ল.সা.গু দ্বারা গুণ করে,

$1=Ax(2-x^2)+B(2-x^2)+(Cx+D)x^2.....\left(ii\right)$

$\Rightarrow 1=2xA-x^{3}A+2B-x^{2}B+C{x}^2+x^{2}D$

$\Rightarrow 1=2xA+-x\cdot (-A+C)x^2+(-B+D)x^2+2B$

$\Rightarrow 1=(-A+C)x^2+(-B+D)x^2+2Ax+2B......\left(iii\right)$

(iii) নং হতে x³, x², x এবং ধ্রুব পদের সহগ সমীকৃত করে পাই,

$A+C=0.....\left(iv\right)$

$B+D=0....\left(v\right)$

$2A=0.....\left(vi\right)$

$2B=1$

$\therefore B=\frac{1}{2}$

(iv) হতে,

$2A=0$

$\therefore A=0$

(v) হতে,

$-B+D=0$

$\Rightarrow D=B=\frac{1}{2}$

(iv) হতে,

$-A+C=0$

$\Rightarrow C=A=0$

$A,B,C,D$এর মান (i) নং এ বসিয়ে,

$\frac{1}{x^2(2-x^2)}\equiv \frac{0}{x}+\frac{1/2}{x^2}+\frac{0\cdot x+1/2}{2-x^2}$

$=\frac{1}{2x^2}+\frac{1}{2(2-x^2)}$

$\int \frac{1}{(2-x^2)x^2}dx=\int \{\frac{1}{2x^2}+\frac{1}{2(2-x^2)}\}dx$

$=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x^2}+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{2-x^2}$

$=\frac{1}{2}\times (-2)\times \frac{1}{x}+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{(\sqrt{2}{)}^2-x^2}$

$=-\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln \frac{\sqrt{2}+x}{\sqrt{2-x}}$

$=\frac{1}{4\sqrt{2}}\ln \frac{\sqrt{2}+x}{\sqrt{2-x}}-\frac{1}{x}$ Ans.

দেওয়া আছে,

$f\left(y\right)=y^2$

$\therefore y=f\left(x\right)=x^2$

এবং $g\left(y\right)=2-y^2$

$\therefore y=g\left(x\right)=2-x^2$

(i) ও (ii) হতে,

$x^2=2-x^2$

বা, $2x^2=2$

বা, $x^2=1$

$\therefore x=\pm 1$

$\therefore$ ছেদবিন্দুদ্বয়ের ভুজ 1 ও -1

$\therefore$ আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $={\int }_{-1}^1(y_1-y_2)dx$

$={\int }_{-1}^1(2-x^2-x^2)dx$

$={\int }_{-1}^1(2-2x^2)dx$

$=2{\int }_{-1}^1(1-x^2)dx$

$=2{\int }_{-1}^{1}dx-2{\int }_{-1}^1{x}^{2}dx$

$=2[x{]}_{-1}^1-2\cdot {\left[\frac{x^3}{3}\right]}_{-1}^1$

$=2[1-(-1\left)\right]-2\cdot \frac{1}{3}\cdot [1^3-(-1{)}^3]$

$=2\cdot (1+1)-\frac{2}{3}(1+1)$

$=2\cdot 2-\frac{2}{3}:2$

$=4-\frac{4}{3}$

$=\frac{12-4}{3}$

$=\frac{8}{3}$ বর্গ একক।