সৃজনশীলঃ ‘f(z)=cos⁡2z,g(u)=u4−23u3−2u2+2u…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০১৯ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$f\left(z\right)=\cos 2z$

$f\left(x\right)=\cos 2x$

$f(x+h)=\cos 2(x+h)$

$\therefore \underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\cos 2(x+h)-\cos 2x}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{2\sin \frac{2x+2h+2x}{2}\sin \frac{2x-2x-2h}{2}}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{2\sin (2x+h)\sin (-h)}{h}$

$=-2\sin (2x+0)\cdot \underset{h\to 0}{lim}\frac{\sin h}{h}$

$=-2\sin 2x.1$

$=-2\sin 2x$

নির্ণেয় মানঃ $-2\sin 2x$

দেওয়া আছে,

$g\left(u\right)=u^4-\frac{2}{3}{u}^3-2u^2+2u$

$\therefore g\left(x\right)=x^4-\frac{2}{3}{x}^3-2x^2+2x$

$g^{\prime }\left(x\right)=4x^3-2x^2-4x+2$

$g^{\prime \prime }\left(x\right)=12x^2-4x-4$

ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মানের জন্য,

$\begin{array}{cc}& g^{\prime }\left(x\right)=0\\ & \Rightarrow 4x^3-2x^2-4x+2=0\\ & \Rightarrow 2x^3-x^2-2x+1=0\\ & \Rightarrow x^2(2x-1)-1(2x-1)=0\\ & \Rightarrow (2x-1)(x^2-1)=0\\ & \therefore x=-1,\frac{1}{2},1\end{array}$

কিন্তু $x=-1$ গ্রহণয়াগ্য নয়। কারণ $-1\notin (-1,2)$

$x=\frac{1}{2}$ হলে,

$g^{\prime \prime }\left(x\right)=12\frac{1}{4}-4\frac{1}{2}-4=-3<0$

$x=\frac{1}{2}$ এর জন্য ফাংশনটির মান সর্বোচ্চ হবে।

আবার, $x=1$ হলে,

$g^{\prime \prime }\left(x\right)=12-4-4=4>0$

$\therefore x=1$ এর জন্য ফাংশনটির মান সর্বনিম্ন হবে।

$\therefore$ সর্বোচ্চ মান = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^4-\frac{2}{3}{\left(\frac{1}{2}\right)}^3-2{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+2.\frac{1}{2}$

$=\frac{1}{16}-\frac{1}{12}-\frac{1}{2}+1$

$=\frac{23}{48}$

$\therefore$ সর্বনিম্ন মান $=1-\frac{2}{3}-2+2=\frac{1}{3}$

নির্ণেয় সর্ব্বোচ্চ মান $\frac{23}{48}$ এবং সর্বনিম্ন মান $\frac{1}{3}$