সৃজনশীলঃ ‘f(z)=tan⁡z,h(u)=u4−23u3−2u2+2u…’ আইডিয়াল স্কুল অ্যান্ড কলেজ ২০২৪ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$f\left(z\right)=\tan z$

$f\left(2x\right)=\tan 2x$

$f(2x+h)=\tan (2x+h)$

মূল নিয়মে অন্তরজের নিয়ম হতে পাই,

$\frac{d}{dx}f\left(2x\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(2x+h)-f\left(2x\right)}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\tan (2x+h)-\tan 2x}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sin (2x+h)}{\cos (2x+h)}\frac{\sin 2x}{\cos 2x}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sin (2x+h)\cos 2x-\cos (2x+h)\sin 2x}{\cos (2x+h)\cos 2x}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sin (2x+h-2x)}{h\cos (2x+h)\cos 2x}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sin 2h}{h\cos (2x+h)\cos 2x}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sin 2h}{2h}\frac{1}{\cos (2x+h)}\frac{2}{\cos 2x}$

$=\frac{2}{\cos 2x}lim\frac{\sin 2h}{2h}\cdot lim\frac{1}{\cos (2x+h)}$

$=\frac{2}{\cos 2x}\cdot 1\cdot \frac{1}{\cos (2x+0)}$

$=\frac{2}{{\cos }^{2}2x}$

$\therefore f^{\prime }\left(2x\right)=2{\sec }^{2}2x\text{ Ans }$

দেওয়া আছে,

$h\left(u\right)=u^4-\frac{2}{3}{u}^3-2u^2+2u$

$\therefore h\left(x\right)=4x^4-\frac{2}{3}{x}^3-2x^2+2x$

$\therefore h^{\prime }\left(x\right)=4x^3-2x^2-4x+2$

$\Delta x:h^{\prime \prime }\left(x\right)=12x^2-4x-4$

রেমমানের জন্য,

$h^{\prime }\left(x\right)=0$

$\Rightarrow 4x^3-2x^2-4x+2=0$

$\Rightarrow 2x^3-x^2-2x+1=0$

$\Rightarrow 2x^3-2x^2+x^2-x-x+1=0$

$\Rightarrow 2x^2(x-1)+x(x-1)-1(x-1)=0$

$\Rightarrow (x-1)(2x^2+x-1)=0$

$\Rightarrow (x-1)(2x^2+2x-x-1)=0$

$\Rightarrow (x-1)\left\{2x\right(x+1)-1(x+1\left)\right\}=0$

$\Rightarrow (x-1)(x+1)(2x-1)=0$

$x-1=0;x+1=0;2x-1=0$

$x=1x=-1x=\frac{1}{2}$

$x=1$এর জন্য, $h^{\prime \prime }\left(1\right)={12.1}^2-4.1-4=4>0$

$\therefore x=1$এর জন্য সর্বনিম্ন মান পাওয়া যাবে।

$\therefore$ সর্বনিম্ন মান $=h\left(1\right)=1^4-\frac{2}{3}.13-{2.1}^2+2.1=\frac{1}{3}$

আবার,

$x=-1$এর জন্য, $h^{\prime \prime }(-1)=12\cdot (-1{)}^2-4\cdot (-1)-4=1270$

$\therefore x=-1$এর জন্য ও সর্বনিম্ন মান পাওয়া যাবে।

$\therefore$সর্বনিম্ন মান$=h(-1)=(-1{)}^4-\frac{2}{3}(-1{)}^3-2\cdot (-1{)}^2+2\cdot (-1)$

$=1+\frac{2}{3}-2-2=\frac{-7}{12}$

আবার,

$x=\frac{1}{2}$এর জন্য, $h^{\prime \prime }\left(\frac{1}{2}\right)=12\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-4\cdot \frac{1}{2}-4=-3<0$

$\therefore x=\frac{1}{2}$ এর জন্য সর্বোচ্চ মান পাওয়া যাবে।

$\therefore$ সর্বোচ্চ মান $=h\left(\frac{1}{2}\right)=42\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^4-\frac{2}{3}{\left(\frac{1}{2}\right)}^3-2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2+2\cdot \frac{1}{2}$

$=\frac{1}{16}-\frac{1}{12}-\frac{1}{2}+1=\frac{23}{48}$

চরমান সমূহ যথাক্রমে =$\frac{1}{3},\frac{-7}{12},\frac{23}{18}$