সৃজনশীলঃ ‘g(θ)=cos⁡θ এবং y=2×2+3x+5…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২১ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

$y=2x^2+3x+5-\left(i\right)$

বক্ররেখাটির ঢাল,

$\frac{dy}{dx}=4x+3-\left(\mathrm{ii}\right)$

(i) নং রেখার যেসব বিন্দুতে স্পর্শক x অক্ষের সমান্তরাল তাদের ঢাল শূন্য হবে।

$\therefore \frac{dy}{dx}=0$

$\Rightarrow 4x+3=0$

$\Rightarrow x=\frac{-3}{4}$

x এর মান (i) নং সমীকরনে বসিয়ে পাই,

$y=2{(-\frac{3}{4})}^2+3\left(\frac{-3}{4}\right)+5$

$\Rightarrow y=2\cdot \frac{9}{16}-\frac{9}{4}+5$

$\therefore y=\frac{31}{8}$

$\therefore$ নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\frac{-3}{4},\frac{31}{8})$

দেওয়া আছে, $g\left(\theta \right)=\cos \theta$

$u=g\left(x\right)e^x$

$=\cos x\cdot e^x$

এখন, $\frac{du}{dx}=e^x\cdot (-\sin x)+\mathrm{csox}\cdot e^x$

$\Rightarrow \frac{du}{dx}=e^x\cdot \cos x-e^x\sin x$

$\Rightarrow \frac{du}{dx}=u-e^x\sin x$

আবার, $\frac{du}{dx}=e^x\cos x-e^x\sin x$

$\Rightarrow \frac{d^{2}u}{d{x}^2}=e^x(-\sin x)+\cos x{e}^x-\{e^x\cos x+e^x\sin x\}$

$\Rightarrow \frac{d^{2}u}{d{x}^2}=-e^x\sin x+e^x\cos x-e^x\sin x-e^x\sin x$

$\Rightarrow \frac{d^{2}u}{d{x}^2}=-2e^x\sin x$

এখন,

$\frac{d^{2}u}{d{x}^2}-2\frac{du}{dx}+2u=-2e^x\sin x-2u-2e^x\sin x+2u$

$=0$ (Showed $)$