সৃজনশীলঃ ‘g(x)=1+x2, h(x)=x3−6×2+9x+5…’ ঢাকা কলেজ ২০২৪ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=x+\sqrt{1+x^2},z=\left\{g\right(x){\}}^m={(x+\sqrt{1+x^2})}^m$

$\therefore \frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dx}}=\frac{d}{\mathrm{dx}}{(x+\sqrt{1+x^2})}^m$

বা, $\frac{dz}{dx}=m{(x+\sqrt{1+x^2})}^{m-1}\cdot \frac{d}{dx}(x+\sqrt{1+x^2})$

বা, $\frac{dz}{dx}=m{(x+\sqrt{1+x^2})}^{m-1}\{1+\frac{1}{2}{(1+x^2)}^{-\frac{1}{2}}\cdot 2x\}$

বা, $\frac{dz}{dx}=m{(x+\sqrt{1+x^2})}^{m-1}\{1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\}$

বা,$\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dx}}=m{(x+\sqrt{1+x^2})}^{m-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}\right)$

বা,$\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dx}}=\frac{m{(x+\sqrt{1+x^2})}^m}{\sqrt{1+x^2}}$

বা, $\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{mz}}{\sqrt{1+x^2}}[\because z={(x+\sqrt{1+x^2})}^m]$

বা, $(1+x^2){\left(\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dx}}\right)}^2=m^2{z}^2$ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা,$\frac{d}{dx}\left\{(1+x^2){\left(\frac{dz}{dx}\right)}^2\right\}=m^2\frac{d}{dx}\left(z^2\right)$

বা, $(1+x^2)\frac{d}{\mathrm{dx}}{\left(\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dx}}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dx}}\right)}^2\frac{d}{dx}(1+x^2)=m^2\cdot 2z\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dx}}$

বা,$(1+x^2)2\frac{dz}{dx}\frac{d^{2}z}{d{x}^2}+{\left(\frac{dz}{dx}\right)}^2\cdot 2x=2m^{2}z\frac{dz}{dx}$

বা, $(1+x^2)\frac{d^{2}z}{d{x}^2}+x\frac{dz}{dx}=m^{2}z[2\frac{dz}{dx}$দ্বারা ভাগ করে].

$\therefore (1+x^2)\frac{d^{2}z}{{\mathrm{dx}}^2}+x\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dx}}-m^{2}z=0$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $h\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+5$

$\therefore h^{\prime }\left(x\right)=3x^2-12x+9$

শর্তমতে, $3x^2-12x+9=0$ বা, $x^2-4x+3=0$

বা, $x^2-3x-x+3=0$বা, $(x-3)(x-1)=0\therefore x=1,3$

এখন, 1 ও 3 বিন্দু দুটি বাস্তব সংখ্যাকে তিনটি ব্যবধিতে বিভক্ত করে, $x<1,1<x<3$ এবং $x>3$

এখন, $x<1$ এবং $x>3$ ব্যবধিতে $h^{\prime }\left(x\right)>0$

এবং $1<x<3$ ব্যবধিতে $h^{\prime }\left(x\right)<0$

$\therefore x<1$ বা $x>3$ ব্যবধিতে ফাংশনটির মান বৃদ্ধি পায় এবং $1<x<3$ ব্যবধিতে ফাংশনটির মান হাস পায়। (Ans.)