সৃজনশীলঃ ‘g(x)=2xh(x)=12x,[x≠0]…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০১৯ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,
$g\left(x\right)=2x$
$h\left(x\right)=\frac{1}{2x}$

শর্তমতে,
$\phi \left(x\right)=g\left(x\right)+h\left(x\right)$
$\phi \left(x\right)=2x+\frac{1}{2x}$

এখন, $x$ এর সাপেক্ষে পর্যায়ক্রমে অন্তরীকরণ করে পাই,
${\phi }^{\prime }\left(x\right)=2-\frac{1}{2x^2}$

${\phi }^{″}\left(x\right)=0-\frac{1}{2}(-2)x^{-3}=\frac{1}{x^3}$

ফাংশনটির গরিষ্ঠ ও লঘিষ্ঠ মানের জন্য, ${\phi }^{\prime }\left(x\right)=0$ হবে।
$2-\frac{1}{2x^2}=0$
$\Rightarrow 2=\frac{1}{2x^2}$
$\Rightarrow 4x^2=1$
$\Rightarrow x^2=\frac{1}{4}$
$\Rightarrow x=\pm \frac{1}{2}$

এখন $x$ এর মান ${\phi }^{″}\left(x\right)$ এ বসিয়ে পাই,

$x=\frac{1}{2}$ এর জন্য:

${\phi }^{″}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^3}=8>0$

যেহেতু ${\phi }^{″}\left(x\right)$ এর মান ধনাত্মক, তাই $x=\frac{1}{2}$ বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠ মান বিদ্যমান।

লঘিষ্ঠ মান:

$\phi \left(\frac{1}{2}\right)=2\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2\left(\frac{1}{2}\right)}=1+1=2$

$x=-\frac{1}{2}$ এর জন্য:

${\phi }^{″}(-\frac{1}{2})=\frac{1}{{(-\frac{1}{2})}^3}=-8<0$

যেহেতু ${\phi }^{″}\left(x\right)$ এর মান ঋণাত্মক, তাই $x=-\frac{1}{2}$ বিন্দুতে ফাংশনটির গরিষ্ঠ মান বিদ্যমান।

গরিষ্ঠ মান:

$\phi (-\frac{1}{2})=2(-\frac{1}{2})+\frac{1}{2(-\frac{1}{2})}=-1-1=-2$

নির্ণেয় ফাংশনটির লঘিষ্ঠ মান $2$ এবং গরিষ্ঠ মান $-2$.

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=2x,h\left(x\right)=\frac{1}{2x}$

এখানে, $y={\left\{\frac{1}{2}g\right(x\left)\right\}}^{\frac{1}{2h\left(x\right)}}={(\frac{1}{2}\times 2x)}^{\frac{1}{2\times \frac{1}{2x}}}=x^x$

বা, $\mathrm{In}y=\mathrm{In}{x}^x=x\mathrm{In}x$

বা, $\frac{1}{y}\times y_1=x\times \frac{1}{x}+\mathrm{In}x\times 1$

[উভয়পক্ষকে $x$ সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে]

$=1+\mathrm{In}x$

বা, $y_1=y(1+\mathrm{In}x)=x^x(1+\mathrm{In}x)$

বা, $y_2=x^x(0+\frac{1}{x})+(1+\mathrm{In}x)\times x^x(1+\mathrm{In}x)$

[পুনরায় $x$ সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে]

$=x^x[\frac{1}{x}+(1+\mathrm{In}x{)}^2]$

$\therefore y_2=x^x[\frac{1}{x}+(1+\mathrm{In}x{)}^2]$