সৃজনশীলঃ ‘g(x)=4×2+4ax+(a2−b2),h(x)=x2+px+q,G(x)=x2+qx+p.…’ ঢাকা কলেজ ২০২৬ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$g\left(x\right)=4x^2+4ax+(a^2-b^2)$

প্রশ্নমতে, $g\left(x\right)=0$

$\therefore 4x^2+4ax+(a^2-b^2)=0\dots \dots \left(1\right)$

$\left(1\right)$ নং সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$ হলে,

মূলদ্বয়ের যোগফল, $\alpha +\beta =-\frac{4a}{4}=-a$

মূলদ্বয়ের গুণফল, $\alpha \beta =\frac{a^2-b^2}{4}$

এখন,

$(\alpha -\beta {)}^2=(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta$

$=(-a{)}^2-4\left(\frac{a^2-b^2}{4}\right)$

$=a^2-(a^2-b^2)$

$=a^2-a^2+b^2$

$=b^2$

$\therefore \alpha -\beta =\pm b$

এখন, $(\alpha +\beta )$ ও $(\alpha -\beta )$ মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে:

$x^2-\left\{\right(\alpha +\beta )+(\alpha -\beta \left)\right\}x+(\alpha +\beta )(\alpha -\beta )=0$

বা, $x^2-(-a\pm b)x+(-a)(\pm b)=0$

বা, $x^2+(a\mp b)x\mp ab=0$

যেহেতু $\mp$ এবং $\pm$ একই সাথে ধনাত্মক ও ঋণাত্মক উভয় মান নির্দেশ করে, তাই সমীকরণটিকে লেখা যায়:

$\therefore x^2+(a\pm b)x\pm ab=0$

সুতরাং, $x^2+(a\pm b)x\pm ab=0$ সমীকরণটির মূল দুইটি হবে $\alpha +\beta$ ও $\alpha -\beta$। (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,

$h\left(x\right)=x^2+px+q$ এবং $G\left(x\right)=x^2+qx+p$

প্রশ্নমতে, $h\left(x\right)=0$

$\therefore x^2+px+q=0\dots \dots \left(1\right)$

এবং $G\left(x\right)=0$

$\therefore x^2+qx+p=0\dots \dots \left(2\right)$

ধরি,

সমীকরণ দুইটির সাধারণ মূল $\alpha$।

যেহেতু সাধারণ মূল উভয় সমীকরণকে সিদ্ধ করবে, তাই:

${\alpha }^2+p\alpha +q=0\dots \dots \left(3\right)$

${\alpha }^2+q\alpha +p=0\dots \dots \left(4\right)$

$\left(3\right)$ নং সমীকরণ থেকে $\left(4\right)$ নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

$(p\alpha +q)-(q\alpha +p)=0$

বা, $p\alpha -q\alpha -p+q=0$

বা, $\alpha (p-q)-1(p-q)=0$

বা, $(p-q)(\alpha -1)=0$

যেহেতু $p\ne q$, অর্থাৎ $p-q\ne 0$,

সুতরাং, $\alpha -1=0$

$\therefore \alpha =1$

$\alpha$ এর মান $\left(3\right)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$(1{)}^2+p(1)+q=0$

$\therefore p+q=-1$

এখন প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

$3x^2+(p+q-3)x=(p+q-3{)}^2$

এখানে $p+q=-1$ বসিয়ে পাই,

বা, $3x^2+(-1-3)x=(-1-3{)}^2$

বা, $3x^2-4x=(-4{)}^2$

বা, $3x^2-4x=16$

বা, $3x^2-4x-16=0$

দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

$x=\frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4{)}^2-4\cdot 3\cdot (-16)}}{2\cdot 3}$

$=\frac{4\pm \sqrt{16+192}}{6}$

$=\frac{4\pm \sqrt{208}}{6}$

$=\frac{4\pm 4\sqrt{13}}{6}$$[\because \sqrt{208}=\sqrt{16\times 13}=4\sqrt{13}]$

$=\frac{2(2\pm 2\sqrt{13})}{6}$

$=\frac{2\pm 2\sqrt{13}}{3}$

$\therefore$ নির্ণেয় সমীকরণটির মূলদ্বয় হলো: $\frac{2+2\sqrt{13}}{3}$ ও $\frac{2-2\sqrt{13}}{3}$।