সৃজনশীলঃ ‘g(x)=e−x+ex এবং f(x)=5x−32x+1…’ বরিশাল বোর্ড ২০১৯ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেয়া আছে, $g\left(x\right)=e^{-x}+e^x$

$\therefore g\left(2x\right)=e^{-2x}+e^{2x}$

$g\left(2y\right)=e^{-2y}+e^{2y}$

$g(x+y)=e^{x+y}+e^{-x-y}$

$g(x-y)=e^{x-y}+e^{y-x}$

$\therefore g\left(2y\right)+g\left(2x\right)=(e^{2x}+e^{-2x})+(e^{2y}+e^{-2y})$

ডানপক্ষ $=g(x-y)g(x+y)$

$=(e^{x-y}+e^{y-x})\cdot (e^{x+y}+e^{-x-y})$

$=e^{x-y+x+y}+e^{x-y-x-y}+e^{y-x+x+y}+e^{y-x-x-y}$

$=e^{2x}+e^{-2y}+e^{2y}+e^{-2x}$

$=(e^{2x}+e^{-2x})+(e^{2y}+e^{-2y})$

$=g\left(2y\right)+g\left(2x\right)$

= বামপক্ষ

$\therefore g\left(2y\right)+g\left(2x\right)=g(x-y)g(x+y)$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\frac{5x-3}{2x+1},f:A\to B$

এবং, $A=R-\{-\frac{1}{2}\},B=R-\left\{\frac{1}{2}\right\}$

ধরি, $x_1,x_2\in R$ এবং $x_1\ne x_2$

তাহলে, $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$

বা, $\frac{5x_1-3}{2x_1+1}=\frac{5x_2-3}{2x_2+1}$

বা, $10x_1{x}_2-6x_1+5x_2-3=10x_1{x}_2$

$-6x_2+5x_1-3$

বা, $5x_2+6x_2=5x_1+6x_1$

বা, $11x_1=11x_2$

বা, $x_1=x_2$

$\therefore f\left(x\right)$ একটি এক-এক ফাংশন।

এখন, ধরি, $y=\frac{5x-3}{2x+1}$

বা, $2xy+y=5x-3$

বা, $x(2y-5)=-y-3$

বা, $x=\frac{y+3}{5-2y}$

বা, $f^{-1}\left(y\right)=\frac{y+3}{5-2y}\left[f\right(x)=y]$

$\therefore f^{-1}\left(x\right)=\frac{x+3}{5-2x}$