সৃজনশীলঃ ‘g(x)=p+qx+rx2 একটি ফাংশন।এবং…’ রংপুর সরকারি কলেজ ২০২৫ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আরে, $g\left(x\right)=p+qx+r{x}^2$

$\therefore g\left(\omega \right)=p+p\omega +r{\omega }^2$

$g\left({\omega }^2\right)=p+q{\omega }^2+r{\omega }^4=p+q{\omega }^2+r\omega$

এবং $p+q+r=0$

বামপক্ষ $=\left\{g\right(\omega ){\}}^2+{\left\{g\left({\omega }^2\right)\right\}}^2$

$={(p+q\omega +r{\omega }^2)}^2+{(p+q{\omega }^2+r\omega )}^2$

$=p^2+q^2{\omega }^2+r^2{\omega }^4+2pq\omega +2qr{\omega }^3+2rp{\omega }^2+p^2+q^2{\omega }^4+r^2{\omega }^2+2pq{\omega }^2+2qr{\omega }^3+2rp\omega$

$=p^2+q^2{\omega }^2+r^2\omega +2\mathrm{pq}\omega +2\mathrm{qr}+2\mathrm{rp}{\omega }^2+p^2+q^2\left(t\right)+r^2{\omega }^2+2\mathrm{pq}({\omega }^2+2\mathrm{qr}+2\mathrm{rp}\omega [\because {\omega }^3=1]$

$=2p^2+q^2({\omega }^2+\omega )+r^2(\omega +{\omega }^2)+2pq(\omega +{\omega }^2)+4qr+2rp({\omega }^2+\omega )$

$=2p^2-q^2-r^2-2\mathrm{pq}+4\mathrm{qr}-2\mathrm{rp}[\because 1+\omega +{\omega }^2=0]$

$=2p^2-(q^2+r^2)+4\mathrm{qr}-2p(q+r)$

$=2p^2-\left\{\right(q+r{)}^2-2\mathrm{qr}\}+4\mathrm{qr}-2p(-p)[\because p+q+r=0]$

$=2p^2-\left\{\right(-p{)}^2-2\mathrm{qr}\}+4\mathrm{qr}+2p^2$

$=2p^2-p^2+2\mathrm{qr}+4\mathrm{qr}+2p^2$

$=3p^2+6qr=3(p^2+2qr)=$ ডানপক্ষ

$\therefore \left\{g\right(\omega ){\}}^2+{\left\{g\left({\omega }^2\right)\right\}}^2=3(p^2+2qr)$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $|z+2|+|z-2|=6$

বা, $|x+iy+2|+|x+iy-2|=6[\because z=x+iy]$

বা, $\sqrt{(x+2{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-2{)}^2+y^2}=6$

বা, $\sqrt{(x+2{)}^2+y^2}=6-\sqrt{(x-2{)}^2+y^2}$

বা, $(x+2{)}^2+y^2=6^2+(x-2{)}^2+y^2-2.6.\sqrt{(x-2{)}^2+y^2}$

[উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা, $x^2+4+4x+y^2=36+x^2+4-4x+y^2-12\sqrt{x^2+4-4x+y^2}$

বা, $4x+4x-36=-12\sqrt{x^2+y^2-4x+4}$

বা, $8x-36=-12\sqrt{x^2+y^2-4x+4}$

বা, $2x-9=-3\sqrt{x^2+y^2-4x+4}$

বা, $(2x-9{)}^2={(-3\sqrt{x^2+y^2-4x+4})}^2$ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা, $4x^2+81-36x=9(x^2+y^2-4x+4)$

বা, $9x^2+9y^2-36x+36-4x^2+36x-81=0$

বা, $5x^2+9y^2=45$

বা, $\frac{5x^2}{45}+\frac{9y^2}{45}=1$ [উভয়পক্ষকে 45 দ্বারা ভাগ করে]

বা, $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$

বা, $\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{(\sqrt{5}{)}^2}=1$ ........ (1) যা একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।

(1)নং কে উপবৃত্তের প্রমিত সমীকরণ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ এর সাথে তুলনা করে পাই, $a=3$ এবং $b=\sqrt{5}$

$\therefore a>b$

উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা $e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$

$=\sqrt{1-\frac{5}{9}}=\sqrt{\frac{9-5}{9}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$

$\therefore$ দিকাক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব $=\frac{2a}{e}=\frac{2\times 3}{\frac{2}{3}}=9$

নির্ণেয় কনিকটির দিকাক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব 9 একক।