সৃজনশীলঃ ‘g(x)=p+qx+rx2, h(a, b)=a+ib.…’ ২০২৫ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $h(a,b)=a+\mathrm{ib}$ 

$\therefore h(a,-b)=a-\mathrm{ib}$ 

$h(x,y)=x+iy$ 

এবং $h(x,-y)=x-iy$ 

এখন, $\sqrt[3]{h(a,b)}=h(x,y)$ হলে. $\sqrt[3]{a+ib}=x+iy$ 
বা, $a+ib=(x+iy{)}^3$ [উভয় পক্ষকে ঘন করে] 

বা, $a+ib=x^3+3x^{2}iy+3x(iy{)}^2+(iy{)}^3$ 

$[\because (a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3]$ 

বা, $a+ib=x^3+3x^{2}yi-3x{y}^2-y^{3}i[\because i^2=-1$ এবং $i^3=-i]$ 

$\therefore a+ib=(x^3-3x{y}^2)+(3x^{2}y-y^3)i$$..........\left(1\right)$

সমীকরণ $\left(1\right)$ হতে বাস্তব ও অবাস্তব অংশ সমীকৃত করে পাই,

$a=x^3-3x{y}^2$ এবং $b=3x^{2}y-y^3$ 

বামপক্ষ $=\sqrt[3]{a-ib}=\sqrt[3]{x^3-3x{y}^2-i(3x^{2}y-y^3)}$ 

$=\sqrt[3]{x^3-3x{y}^2-i3x^{2}y+i{y}^3}$ 

$=\sqrt[3]{x^3-3x^2\left(iy\right)+3x(iy{)}^2-(iy{)}^3}[\because i^2=-1$ এবং $i^3=-i]$ 

$=\sqrt[3]{(x-iy{)}^3}=x-iy=h(x,-y)=$ ডানপক্ষ 

$\therefore \sqrt[3]{h(a,-b)}=h(x,-y):$ (প্রমাণিত) 

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=l+\mathrm{mx}+{\mathrm{nx}}^2$ 

$\begin{array}{cc}& \therefore g\left(\omega \right)=l+m\omega +n{\omega }^2\\ & \therefore g\left({\omega }^2\right)=l+m{\omega }^2+n{\omega }^4=l+m{\omega }^2+n\omega \end{array}$ 

বামপক্ষ $=\left\{g\right(\omega ){\}}^3+{\left\{g\left({\omega }^2\right)\right\}}^3$ 

$={(l+m\omega +n{\omega }^2)}^3+{(l+m{\omega }^2+n\omega )}^3$ 

$=x^3+y^3$ [ধরি, $x=l+m\omega +n{\omega }^2,y=l+m{\omega }^2+n\omega ]$ 

$\begin{array}{cc}& =(x+y)(x^2-\mathrm{xy}+y^2)=(x+y)\{x^2+(-1)\mathrm{xy}+1^2{y}^2\}\\ & =(x+y)\{x^2+(\omega +{\omega }^2)\mathrm{xy}+{\omega }^3{y}^2\}\\ & =(x+y)(x^2+\mathrm{xy}\omega +\mathrm{xy}{\omega }^2+y^2{\omega }^3)\\ & =(x+y)\left\{x\right(x+y\omega )+y{\omega }^2)(x+y\omega )\}\\ & =(x+y)(x+y\omega )(x+y{\omega }^2)\\ & =(l+m\omega +n{\omega }^2+l+m{\omega }^2+n\omega )(l+m\omega +n{\omega }^2\\ & \\ & +l\omega +m{\omega }^3+n\omega )(l+m\omega +n{\omega }^2+l{\omega }^2+m{\omega }^4+n{\omega }^3)\\ & =\{2l+m(\omega +{\omega }^2)+n(\omega +{\omega }^2)\}\left\{l\right(1+\omega )\\ & +m(1+\omega )+2n{\omega }^2\}\{l(1+{\omega }^2)+2m\omega +n(1+{\omega }^2)\}\\ & =(2a-m-n)(-l{\omega }^2-m{\omega }^2+2n{\omega }^2)(-l\omega +2m\omega -n\omega )\\ & =(2l-m-n)(-l-m+2n)(-l-n+2m){\omega }^2.\omega \end{array}$ 

$\begin{array}{cc}& =(2l-m-n)(2n-l-m)(2m-l-n)\\ & =(2l+l)(2n+n)(2m+m)\\ & =3l.3n.3m\end{array}$ 

$=27/\mathrm{mn}=$ ডানপক্ষ 

$\therefore \left\{f\right(\omega ){\}}^3+{\left\{f\left({\omega }^2\right)\right\}}^3\}=27\mathrm{lmn}$. (প্রমাণিত) 

$\begin{array}{cc}& l+m+n=0\\ & l=-m-n\\ & m=-l-n\\ & n=-m-l\end{array}$

[বি: দ্র: $l,m$ এবং$n$ এর পরিবর্তে যথাক্রমে $p,q$ এবং $r$ হবে]