সৃজনশীলঃ ‘g(x)=psin−1⁡x;h(x)=cos⁡x…’ বরিশাল বোর্ড ২০১৭ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $p=\frac{1}{2}$

এবং $g\left(x\right)=p{\sin }^{-1}x=\frac{1}{2}{\sin }^{-1}x$

যেখানে $-1\le x\le 1$.

ধরি, $y=\frac{1}{2}{\sin }^{-1}x$.

x এর বিভিন্ন মানের জন্য প্রতিসঙ্গী y এর মানগুলো নির্ণয় করি।

ছক কাগজের x অক্ষ বরাবর 10 ঘর = 1 একক এবং y অক্ষ বরাবর 1 ক্ষুদ্রতম ঘর = $5^{\circ }$ একক ধরে প্রাপ্ত x ও y এর মানগুলি বসিয়ে $y=\frac{1}{2}{\sin }^{-1}x$ এর লেখচিত্র পাওয়া যায়।

দেওয়া আছে, h(x) = cosx

$\therefore h\left(2x\right)=\cos 2x$

প্রদত্ত সমীকরণ,
$2\left\{h\right(x){\}}^2+\{h\left(2x\right){\}}^2=2$

বা, $2{\cos }^{2}x+{\cos }^{2}2x=2$
বা, $1+\cos 2x+{\cos }^{2}2x-2=0$
বা, ${\cos }^{2}2x+\cos 2x-1=0$
বা, $\cos 2x=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot (-1)}}{2.1}$

$=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$

কিন্তু, $\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$ গ্রহণযোগ্য নয়। কেননা তা -1 অপেক্ষা ছোট মান এবং $\cos \theta$ এর সীমা -1 হতে 1 পর্যন্ত।

$\therefore \cos 2x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

বা, $\cos 2x=\cos \alpha [$ [ধরি, $\alpha ={\cos }^{-1}\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)]$

বা, $2x=2n\pi \pm \alpha$.

$\therefore x=n\pi \pm \frac{\alpha }{2}$

যেখানে $\alpha ={\cos }^{-1}\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)$ এবং $n\in U$ (Ans.)