সৃজনশীলঃ ‘g(x)=x এবং y=x+1x.…’ আনন্দ মোহন কলেজ ২০২৬ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

ধরি, $x=\cos \theta$

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=x$

ধরি, $y={\sin }^4\cdot \{{\cot }^{-1}\sqrt{\frac{1-g\left(x\right)}{1+g\left(x\right)}\}}$

$={\sin }^4\{{\cot }^{-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\}$

$={\sin }^4\{{\cot }^{-1}\sqrt{\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}\}$

$={\sin }^4\{{\cot }^{-1}\sqrt{\frac{2{\sin }^2\frac{\theta }{2}}{2{\cos }^2\frac{\theta }{2}}}\}$

$={\sin }^4\{{\cot }^{-1}\sqrt{{\tan }^2\frac{\theta }{2}}\}$

$={\sin }^4\{{\cot }^{-1}(\tan \frac{\theta }{2})\}$

$={\sin }^4\{{\cot }^{-1}\cot (\frac{\pi }{2}-\frac{\theta }{2})\}$

$={\sin }^4(\frac{\pi }{2}-\frac{\theta }{2})={\cos }^4\frac{\theta }{2}$

$=\frac{1}{4}{(2{\cos }^2\frac{\theta }{2})}^2=\frac{1}{4}(1+\cos \theta {)}^2=\frac{1}{4}(1+x{)}^2$

বা, $y=\frac{1}{4}(1+x{)}^2$

বা, $\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left\{\frac{1}{4}\right(1+x{)}^2\}$

বা, $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{4}\cdot 2(1+x)=\frac{1}{2}(1+x)$

$\therefore \frac{d}{dx}[{\sin }^4\{{\cot }^{-1}\sqrt{\frac{1-g\left(x\right)}{1+g\left(x\right)}}\}]=\frac{1}{2}(x+1)$

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=x$

$\therefore g(\sin x)=\sin x$

এখানে, $y=\sqrt{4+g(\sin x)}$

বা, $y=\sqrt{4+\sin x}$

বা, $y^2=4+\sin x$ [বর্গ করে]

$x$ এর সাপেক্ষে উভয়পক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

বা, $2y_1=0+\cos x$

বা, $2y{y}_1=\cos x$

$x$ এর সাপেক্ষে পুণরায় অন্তরীকরণ করে পাই,

বা, $2y{y}_2+2y_1{y}_1=-\sin x$

বা, $2y{y}_2+2y_1{}^2=-(y^2-4)$

$\therefore 2y{y}_2+2y_1^2+y^2-4=0$. (দেখানো হলো)