সৃজনশীলঃ ‘g(x)=x2 একটি কনিকের…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৫ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

১ম পদে ধরি, $x=\frac{1}{2}$

বা, $dx=-\frac{1}{z^2}dz$

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=x^2$

এখন, ${\int }_1^{\sqrt{3}}\frac{(1-x^2)dx}{g\left(x\right)\sqrt{4-g\left(x\right)}}$

$={\int }_1^{\sqrt{3}}\frac{(1-x^2)dx}{x^2\sqrt{4-x^2}}$

$={\int }_1^{\sqrt{3}}[\frac{1}{x^2\sqrt{4-x^2}}-\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}]dx$

$={\int }_1^{\sqrt{3}}\frac{1}{x^2\sqrt{4-x^2}}dx-{\int }_1^{\sqrt{3}}\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}dx$

$={\int }_1^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\cdot \frac{-\frac{dz}{z^2}}{\frac{1}{z^2}}\sqrt{4-\frac{1}{z^2}}-{\int }_1^{\sqrt{3}}\frac{1}{\sqrt{2^2-x^2}}dx$

$=-{\int }_1^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\frac{\frac{1}{2}dz}{\frac{1}{2}\sqrt{\frac{4z^2-1}{z}}}-{\int }_1^{\sqrt{3}}\frac{1}{\sqrt{2^2-x^2}}dx$

আবার, ধরি, $4z^2-1=w$

ধরি, $8z\mathrm{dz}=\mathrm{dw}$

$\therefore zdz=\frac{dw}{8}$

$={\int }_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^1\frac{zdz}{\sqrt{4z^2-1}}-{[{\sin }^{-1}\frac{x}{2}]}_1^{\sqrt{3}}$

$[\because \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}={\sin }^{-1}\frac{x}{a}]$

$={\int }_{\frac{1}{3}}^3\frac{1}{8}{w}^{-\frac{1}{2}}dw-(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6})$

$\frac{1}{8}{\left[\frac{w^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}\right]}^3-\frac{2\pi -\pi }{6}$

$=\frac{1}{8}{\left[\frac{w^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\right]}^3-\frac{\pi }{6}$

$=\frac{1}{4}[\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}]-\frac{\pi }{6}$

$=\frac{2}{4\sqrt{3}}-\frac{\pi }{6}=\frac{1}{2\sqrt{3}}-\frac{\pi }{6}$

নির্ণেয় মান : $\frac{1}{2\sqrt{3}}-\frac{\pi }{6}$

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=x^2$ এবং $y=g\left(x\right)-6=x^2-6$

$\therefore y=x^2-6\dots \dots \dots \text{ (i) }$

সরলরেখার সমীকরণ, $y=x$ ......... (ii)

(i) নং ও (ii) নং হতে পাই,

$\therefore x=x^2-6$

বা, $x^2-x-6=0$

বা, $x^2-3x+2x-6=0$

বা, $x(x-3)+2(x-3)=0$

বা, $(x-3)(x+2)=0$

$\therefore x=-2,3$

$\therefore$ আবস্থক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $={\int }_{-2}^3(y_2-y_1)dx$

$={\int }_{-2}^3[x-(x^2-6)]dx$

$={\int }_{-2}^3(x-x^2+6)dx$

$={[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+6x]}_{-2}^3$

$=[\frac{3^2}{2}-\frac{3^3}{3}+6\times 3]-[\frac{(-2{)}^2}{2}-\frac{(-2{)}^3}{3}+6(-2\left)\right]$

$=(\frac{9}{2}-9+18)-(2+\frac{8}{3}-12)$

$=\frac{9}{2}+9+10-\frac{8}{3}$

$=\frac{9}{2}-\frac{8}{3}+19$

$=\frac{27-16+114}{6}=\frac{125}{6}$ বর্গ একক

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল : $\frac{125}{6}$ বর্গ একক।