সৃজনশীলঃ ‘g(x)=x2−2x−k…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৫ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=x^2-2x-k$

এবং $g\left(x\right)=0$

বা, $x^2-2x-k=0$ ......... (1)

(1) নং এর মূলদ্বয় $a,b$ হলে,

$a+b=-\frac{-2}{1}=2$

এবং $ab=\frac{-k}{1}=-k$

এখন, $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$ ও $\frac{1}{ab}$ মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ,

$x^2-(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab})x+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\frac{1}{ab}=0$

বা, $x^2-\left(\frac{b+a+1}{ab}\right)x+\left(\frac{b+a}{ab}\right)\frac{1}{ab}=0$

বা, $x^2-\left(\frac{2+1}{-k}\right)x+\left(\frac{2}{-k}\right)\cdot \frac{1}{-k}=0$

বা, $x^2+\frac{3x}{k}+\frac{2}{k^2}=0$

$\therefore k^2{x}^2+3kx+2=0$

নির্ণেয় সমীকরণ $k^2{x}^2+3kx+2=0$.

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=x^2-2x-k$

এবং $g\left(x\right)=0$

বা, $x^2-2x-k=0$ .......... (1)

আবার, $x^2+\mathrm{kx}-6k=0$ ........ (2)

ধরি, (1) ও (2) নং এর সাধারণ মূল $\alpha$

$\therefore {\alpha }^2-2\alpha -k=0$

এবং ${\alpha }^2+k\alpha -6k=0$

বজ্রগুণন পদ্ধতিতে পাই, $\frac{\alpha }{12k+k^2}=\frac{\alpha }{-k+6k}=\frac{1}{k+2}$

বা, $\frac{{\alpha }^2}{k^2+12k}=\frac{\alpha }{5k}=\frac{1}{k+2}$

এখন, $\frac{{\alpha }^2}{k^2+12k}=\frac{\alpha }{5k}$

বা, $\frac{\alpha }{k(k+12)}=\frac{1}{5k}$

$\therefore \alpha =\frac{k(k+12)}{5k}$

এবং $\frac{\alpha }{5k}=\frac{1}{k+2}$

বা, $\frac{k(k+12)}{5k}\times \frac{1}{5k}=\frac{1}{k+2}[\because \alpha =\frac{k(k+12)}{5k}]$

বা, $k(k+12)(k+2)=25k^2$.

বা, $k(k^2+2k+12k+24)-25k^2=0$

বা, $k(k^2+14k+24)-25k^2=0$

বা, $k(k^2+14k-25k+24)=0$

বা, $k(k^2-11k+24)=0$

বা, $k(k^2-8k-3k+24)=0$

বা, $k\left\{k\right(k-8)-3(k-8\left)\right\}=0$

বা, $k(k-8)(k-3)=0$.

$\therefore k=0,8,3$

নির্ণেয় মান : $k=0,3,8$.