সৃজনশীলঃ ‘g(z)=mzsin−1⁡z একটি ফাংশন…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০১৭ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

$\int g\left(x\right)dx=\int mx{\sin }^{-1}xdx[<g(z)=mz{\sin }^{-1}z]$

এখন, $\int x{\sin }^{-1}xdx$

$={\sin }^{-1}x\int xdx-\int \{\frac{d}{dx}({\sin }^{-1}x)\int xdx\}dx$

$={\sin }^{-1}x\cdot \frac{x^2}{2}-\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\cdot \frac{x^2}{2}dx$

$=\frac{x^2}{2}{\sin }^{-1}x-\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx$

$=\frac{x^2}{2}{\sin }^{-1}x-\frac{1}{2}I[I=\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx$ ধরে 

ধরি, $x=\sin \theta$

বা, $\theta ={\sin }^{-1}x$

$\therefore \mathrm{dx}=\cos \theta d\theta$

এখন, $I=\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{dx}$

$=\int \frac{{\sin }^2\theta }{\sqrt{1-{\sin }^2\theta }}\cdot \cos \theta d\theta$

$=\int {\sin }^2\theta d\theta$

$=\int \frac{1}{2}(1-\cos 2\theta )d\theta$

$=\frac{1}{2}(\theta -\frac{1}{2}\sin 2\theta )$

$=\frac{1}{2}({\sin }^{-1}x-\frac{1}{2}\cdot 2\sin \theta \cos \theta )$

$\therefore I=\frac{1}{2}{\sin }^{-1}x-\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}$

$\therefore \int g\left(x\right)dx=m\int x{\sin }^{-1}xdx$

$=m[\frac{1}{2}{x}^2{\sin }^{-1}x-\frac{1}{2}(\frac{1}{2}{\sin }^{-1}x-\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2})]+c$

$=\frac{1}{2}m{x}^2{\sin }^{-1}x-\frac{1}{4}m{\sin }^{-1}x+\frac{1}{4}mx\sqrt{1-x^2}+c\text{ (Ans.) }$

$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$

(i) নং এ$এy=0$ বসিয়ে পাই, $x^2=b^2\therefore x=\pm b$

অর্থাৎ উপবৃত্তটি x-অক্ষকে $(-b,0)$ ও $(b,0)$ বিন্দুতে ছেদ করে।

আবার, $x=0$ বসিয়ে পাই,

$y^2=a^2$

$\therefore y=\pm a$

$\therefore$ উপবৃত্তটি $y$-অক্ষকে $(0,-a)$ ও $(0,a)$ বিন্দুতে ছেদ করে।

উপবৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের অর্ধাংশের ক্ষেত্রফল

$=2\times \mathrm{OABO}$ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 

ধরি, $x=b\sin \theta \Rightarrow \mathrm{dx}=b\cos \theta d\theta$

যখন $x=0$, তখন $\theta =0$

এবং যখন $x=b$, তখন $\theta =\frac{\pi }{2}$

$=2{\int }_0^b\mathrm{ydx}$

$=2{\int }_0^b\frac{a}{b}\sqrt{b^2-x^2}\mathrm{dx}$

$=\frac{2a}{b}{\int }_0^b\sqrt{b^2-x^2}\mathrm{dx}$

$=\frac{2a}{b}{\int }_0^{\pi /2}\sqrt{b^2-b^2{\sin }^2\theta }\cdot b\cos \theta d\theta$

$=2a{\int }_0^{\pi /2}\sqrt{b^2(1-{\sin }^2\theta )}\cdot \cos \theta d\theta$

$=2\mathrm{ab}{\int }_0^{\pi /2}\sqrt{{\cos }^2\theta }\cdot \cos \theta d\theta =\mathrm{ab}{\int }_0^{\pi /2}2{\cos }^2\theta d\theta$

$=\mathrm{ab}{\int }_0^{\pi /2}(1+\cos 2\theta )d\theta =\mathrm{ab}{[\theta +\frac{1}{2}\sin 2\theta ]}_0^{\pi /2}$

$=\mathrm{ab}[\frac{\pi }{2}-0]=\frac{\pi \mathrm{ab}}{2}$ বগ একক (Ans.)