সৃজনশীলঃ ‘ঘণ্টায় 40km বেগে…’ ঢাকা বোর্ড ২০১৯ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

কাজ হচ্ছে বল প্রয়োগে যদি কোনো বস্তুর সরণ ঘটে, তবে সেই বলের মান ও উক্ত বল বরাবর সরণের উপাংশের গুণফল।

অপরদিকে, টর্ক হলো নির্দিষ্ট অক্ষ সাপেক্ষে ঘূর্ণনশীল কোনো বস্তুর ওপর ক্রিয়াশীল বল ও ঐ অক্ষ হতে উক্ত বলের লম্ব দূরত্বের গুণফল। কাজ ও টর্ক এর মাত্রা ও একক সমান । কিন্তু এরা ভিন্ন রাশি। কাজ স্কেলার রাশি হলেও টর্ক ভেক্টর রাশি। কাজ, চলন গতি এবং ঘূর্ণন গতি উভয় প্রকার গতির ক্ষেত্রে প্রযোজ্য হলেও, টর্ক কেবল ঘূর্ণন গতির ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।

প্রদত্ত তথ্য:

আমরা একটি গ্রাফ বা স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা কল্পনা করি:

• পূর্ব দিক = ধনাত্মক $x$-অক্ষ (যাকে আমরা $\hat{i}$ দিয়ে প্রকাশ করব)

• উত্তর দিক = ধনাত্মক $y$-অক্ষ (যাকে আমরা $\hat{j}$ দিয়ে প্রকাশ করব)

উদ্দীপক অনুযায়ী:

• গাড়ির প্রকৃত বেগ, ${\overrightarrow{v}}_c=40\hat{i}\text{ km/h}$

• গাড়ির চালকের সাপেক্ষে ট্রাকের আপেক্ষিক বেগ, ${\overrightarrow{v}}_{tc}=80\hat{j}\text{ km/h}$

  (কারণ, প্রশ্নে বলা হয়েছে ট্রাকটিকে উত্তর দিকে এবং গাড়ির বেগের দ্বিগুণ বেগে চলতে দেখা যায়। অর্থাৎ, $40\times 2=80$)

মূল সূত্র (ভেক্টর সমীকরণ):

আপেক্ষিক বেগের সূত্রানুসারে আমরা জানি,
গাড়ির সাপেক্ষে ট্রাকের বেগ = (ট্রাকের প্রকৃত বেগ) - (গাড়ির প্রকৃত বেগ)

• ${\overrightarrow{v}}_{tc}={\overrightarrow{v}}_t-{\overrightarrow{v}}_c$

তাহলে, ট্রাকের প্রকৃত বেগের (${\overrightarrow{v}}_t$) সূত্রটি হবে:

এক্ষেত্রে, পূর্ব দিককে X-অক্ষ এবং উত্তর দিককে Y-অক্ষ বিবেচনা করে

গাড়ির প্রকৃত বেগ,$v_c=40\mathrm{km}/h$

গাড়ির বেগ ভেক্টর ${\overrightarrow{v}}_c=40i\mathrm{km}/h$

আবার, ট্রাকের প্রকৃত বেগ, $v_T=40\sqrt{5}\mathrm{km}/h$ উত্তর দিকের সাথে 26.57∘ কোণে পূর্ব পার্র্রে ক্রিয়া করায়-

ঘ্রাকের বেগ ভেক্টর

$\begin{array}{cc}{\overrightarrow{v}}_T=(40& \sqrt{5}\sin {26.57}^{\circ })\hat{i}+(40\sqrt{5}\cos {26.57}^{\circ })\hat{j}\\ & =(40\hat{i}+80ȷ)\mathrm{km}/h\\ \therefore {\overrightarrow{v}}_c\times {\overrightarrow{v}}_T& =\left|\begin{array}{ccc}\hat{ı}& \hat{ȷ}& \hat{k}\\ 40& 0& 0\\ 40& 80& 0\end{array}\right|\\ & =\hat{i}\times 0-\hat{j}\times 0+\hat{k}(40\times 80-0)=3200\hat{k}\\ & =\frac{{\overrightarrow{v}}_c\times {\overrightarrow{v}}_T}{|{\overrightarrow{v}}_c\times {\overrightarrow{v}}_T|}=\frac{3200\hat{k}}{\sqrt{(3200{)}^2}}=\hat{k}\end{array}$

সুতরাং ট্রাক ও গাড়িটির প্রকৃত বেগ যে তলে উপস্থিত তার উলম্ব দিকে একটি ভেক্টর নির্নয় করা সম্ভব।