সৃজনশীলঃ ‘h(θ)=tan−1⁡θ এবং x2+y2=25…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২১ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

$h\left(\theta \right)={\tan }^{-1}\theta$

$\Rightarrow h\left(x\right)={\tan }^{-1}x$

প্রশ্নমতে, $\int xh\left(x\right)dx=\int x{\tan }^{-1}xdx$

$={\tan }^{-1}x\int xdx-\int \{\frac{d}{dx}({\tan }^{-1}x)\int xdx\}dx$

$={\tan }^{-1}\frac{x^2}{2}-\int \frac{1}{1+x^2}\cdot \frac{x^2}{2}\mathrm{dx}$

$={\tan }^{-1}\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{1+x^2}dx$

$=\frac{x^2}{2}{\tan }^{-1}x-\frac{1}{2}\int \frac{1+x^2-1}{1+x^2}\mathrm{dx}$

$=\frac{x^2}{2}{\tan }^{-1}x-\frac{1}{2}(x-{\tan }^{-1}x)+c$

$=\frac{1}{2}{\tan }^{-1}x{x}^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}{\tan }^{-1}x+c$

$=\frac{1}{2}{\tan }^{-1}x(x^2+1)-\frac{1}{2}x+c$

বৃত্তের সমীকরণ, $x^2+y^2=25$

$\Rightarrow y^2=25-x^2$

$\Rightarrow y=\pm \sqrt{25-x^2}$

$y=0$ হলन,

$x=\pm 5$

প্রদত্ত বৃত্তের প্রথম চর্তুভাগে অবস্থিত অংশের ক্ষেত্রফল,

$\begin{array}{cc}& ={\int }_0^{5}ydx\\ & ={\int }_0^5\sqrt{5^2-x^2}\mathrm{dx}\\ & ={[\frac{x}{2}\sqrt{5^2-x^2}+\frac{5^2}{2}{\sin }^{-1}\frac{x}{5}]}_0^5\\ & =0+\frac{5^2}{2}{\sin }^{-1}\left(1\right)-0-0\\ & =\frac{25}{2}\cdot \frac{\pi }{2}\\ & =\frac{25\pi }{4}\end{array}$বর্গ একক।