সৃজনশীলঃ ‘(i) 1+(3x+2)−1+(3x+2)−2+(3x+2)−3+………….. একটি…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৫ – অসীম ধারা, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

প্রদত্ত (ii) নং ধারা : $6+66+666+\dots \dots .$.

ধারাটির n সংখ্যক পদের যোগফল,

$S_n=6+66+666+\dots .+n$ তম পদ

$=6(1+11+111+\dots ..+n$ তম পদ)

$=\frac{6}{9}(9+99+999+\dots .+n$ তম পদ )

$=\frac{2}{3}\left\{\right(10-1)+(100-1)+(1000-1)+\dots .+n$ তম পদ }

$=\frac{2}{3}\{10+100+1000+\dots ..+n$ তম পদ ) $-(1+1+1+\dots .+n$ তম পদ )}

$=\frac{2}{3}\{(10+{10}^2+{10}^3+\dots \dots .+n$ তম পদ $)-n)\}$

$=\frac{2}{3}\{\frac{10({10}^n-1)}{10-1}-n\}$

$=\frac{2}{3}\{\frac{10({10}^n-1)}{9}-n\}=\frac{20({10}^n-1)}{27}-\frac{2n}{3}$

নির্ণেয় ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল $\frac{20({10}^n-1)}{27}-\frac{2n}{3}$.

প্রদত্ত অসীম ধারা : $1+(3x+2{)}^{-1}+(3x+2{)}^{-2}+(3x+2{)}^{-3}+\dots \dots$

$=1+\frac{1}{3x+2}+\frac{1}{(3x+2{)}^2}+\frac{1}{(3x+2{)}^3}+\dots$

ধারাটির প্রথম পদ, $a=1$

সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{\frac{1}{3x+2}}{1}=\frac{1}{3x+2}$

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি $|r|<1$ হয়

অর্থাৎ - $1<r<1$

বা, $-1<\frac{1}{3x+2}<1$

এখন, $-1<\frac{1}{3x+2}$

বা, $3x+2<-1$

বা, $3x<-1-2$

বা, $3x<-3$

বা, $x<-\frac{3}{3}$

বা, $x<-1$

আবার, $\frac{1}{3x+2}<1$

বা, $3x+2>1$

বা, $3x>1-2$

বা, $3x>-1$

বা, $x>\frac{-1}{3}$

$\therefore$ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি $x<-1$ অথবা $x>-\frac{1}{3}$ হয়।

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, $S_{\infty }=\frac{a}{1-r}=\frac{1}{1-\frac{1}{3x+2}}$

$=\frac{1}{\frac{3x+2-1}{3x+2}}=\frac{3x+2}{3x+1}$

নির্ণেয় শর্ত : $x<-1$ অথবা $x>-\frac{1}{3}$ এবং অসীমতক সমষ্টি $\frac{3x+2}{3x+1}$.