সৃজনশীলঃ ‘(i) (2+5x)−1+(2+5x)−2+(2+5x)−3+……. একটি…’ রাজউক উত্তরা মডেল কলেজ ২০২৬

(i) $(2 + 5 x)^{- 1} + (2 + 5 x)^{- 2} + (2 + 5 x)^{- 3} + \dots \dots$ . একটি অসীয় ধারা।

(ii) $B = {(3 k - \frac{2 x}{3})}^{7}$

উত্তর:

প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে-

উত্তর:

দেওয়া আছে, $B = {(3 k - \frac{2 x}{3})}^{7}$

দ্বিপদী উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,

${(3 k - \frac{2 x}{3})}^{7} = (3 k)^{7} +^{7} C_{1} \cdot (3 k)^{7 - 1} (- \frac{2 x}{3}) +^{7} C_{2} \cdot (3 k)^{7 - 2} {(- \frac{2 x}{3})}^{2}$

$+^{7} C_{3} \cdot (3 k)^{7 - 3} {(- \frac{2 x}{3})}^{3} +^{7} C_{4} \cdot (3 k)^{7 - 4} {(- \frac{2 x}{3})}^{4} + \dots$

$= 3^{7} \cdot k^{7} - 7 \cdot 3^{6} \cdot k^{6} \cdot \frac{2 x}{3} + \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} \cdot 3^{5} \cdot k^{5} \cdot \frac{4 x^{2}}{9} - \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 3^{4} \cdot k^{4} \cdot \frac{8 x^{3}}{27}$

$+ \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 3^{3} \cdot k^{3} \cdot \frac{16 x^{4}}{81} - \dots \dots .$

$∴ k^{3}$ এর সহগ $= \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 3^{3} \cdot \frac{16 x^{4}}{81} = \frac{560 x^{4}}{3}$

শর্তমতে, $\frac{560 x^{4}}{3} = 15120$

বা, $x^{4} = \frac{15120 \times 3}{560} = 81 = (\pm 3)^{4}$

$x = \pm 3$

নির্ণেয় মান: $x = \pm 3$ .

উত্তর:

প্রদত্ত অসীম ধারা : $(2 + 5 x)^{- 1} + (2 + 5 x)^{- 2} + (2 + 5 x)^{- 3} + \dots \dots$

$= \frac{1}{5 x + 2} + \frac{1}{(5 x + 2)^{2}} + \frac{1}{(5 x + 2)^{3}} + \dots \dots .$

প্রদত্ত অসীম গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ, $a = \frac{1}{5 x + 2}$

সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{\frac{1}{(5 x + 2)^{2}}}{\frac{1}{5 x + 2}} = \frac{1}{(5 x + 2)^{2}} \times (5 x + 2) = \frac{1}{5 x + 2}$

এখন, উক্ত ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি $∣ r ∣< 1$ হয় ।

অর্থাৎ, $- 1 < r < 1$

বা, $- 1 < \frac{1}{5 x + 2} < 1$

এখন, $- 1 < \frac{1}{5 x + 2}$

বা, $- 1 > 5 x + 2$

বা, $5 x + 2 < - 1$

বা, $5 x < - 1 - 2$

বা, $5 x < - 3$

বা, $x < - \frac{3}{5}$

আবার, $\frac{1}{5 x + 2} < 1$

বা, $5 x + 2 > 1$

বা, $5 x > 1 - 2$

বা, $5 x > - 1$

বা, $x > - \frac{1}{5}$

অর্থাৎ $x < - \frac{3}{5}$ অথবা $x > - \frac{1}{5}$ হলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে।

$∴$ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$

$= \frac{\frac{1}{5 x + 2}}{1 - \frac{1}{5 x + 2}} = \frac{\frac{1}{5 x + 2}}{\frac{5 x + 2 - 1}{5 x + 2}} = \frac{\frac{1}{5 x + 2}}{\frac{5 x + 1}{5 x + 2}} = \frac{1}{5 x + 2} \times \frac{5 x + 2}{5 x + 1} = \frac{1}{5 x + 1}$

নির্ণেয় শর্ত : $x < - \frac{3}{5}$ অথবা $x > - \frac{1}{5}$ এবং সমষ্টি $\frac{1}{5 x + 1}$ .

A. Nayan

3 Jun 2026 (3 months ago)

সৃজনশীলঃ ‘(i) (2+5x)−1+(2+5x)−2+(2+5x)−3+……. একটি…’ রাজউক উত্তরা মডেল কলেজ ২০২৬ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর

A. Nayan

3 Jun 2026 (3 months ago)

texthide = ""; texthide = texthide.substring(1) document.write(texthide);

সৃজনশীলঃ ‘(i) (2+5x)−1+(2+5x)−2+(2+5x)−3+……. একটি…’ রাজউক উত্তরা মডেল কলেজ ২০২৬ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর