সৃজনশীলঃ ‘(i) 3(1+11+111+………).(ii) a+ap+ap2+…………’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৪ – অসীম ধারা, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

প্রদত্ত (i)নং ধারা : $3(1+11+111+\dots \dots )$

ধরি, ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি,

$S_n=3(1+11+111+\dots n$ পদ পর্যন্ত $)$

$=\frac{3}{9}(9+99+999+\dots ...+n$ তম পদ $)$

$=\frac{1}{3}\left\{\right(10-1)+(100-1)+(1000-1)+\dots ..+n$ তম পদ $\}$

$=\frac{1}{3}\{10+100+1000+\dots ..+n$ তম পদ $)-(1+1+1+\dots .+n$ তম পদ $\left)\right\}$

$=\frac{1}{3}\{10+{10}^2+{10}^3+\dots \dots +n$ তম পদ $)-n\}$

$=\frac{1}{3}\{\frac{10({10}^n-1)}{10-1}-n\}=\frac{1}{3}\{\frac{10({10}^n-1)}{9}-n\}=\frac{10({10}^n-1)}{27}-\frac{n}{3}$

নির্ণেয় ধারাটির প্রথম $n-$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $\frac{10({10}^n-1)}{27}-\frac{n}{3}$.

প্রদত্ত গুণোত্তর ধারা : $a+ap+a{p}^2+\dots \dots \dots$ 

এখন, $a=p=\frac{1}{2x+3}$ হলে, ধারাটি হবে,

$\frac{1}{2x+3}+\frac{1}{2x+3}\cdot \frac{1}{2x+3}+\frac{1}{2x+3}\cdot {\left(\frac{1}{2x+3}\right)}^2+\dots \dots \dots$

$=\frac{1}{2x+3}+\frac{1}{(2x+3{)}^2}+\frac{1}{(2x+3{)}^3}+\dots \dots$

ধারাটির ১ম পদ, $a=\frac{1}{2x+3}$

এবং সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{1}{(2x+3{)}^2}÷\frac{1}{2x+3}$

$=\frac{1}{(2x+3{)}^2}\times (2x+3)=\frac{1}{2x+3}$

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি | r|<1 হয় অর্থাৎ - $1<r<1$ বা - $1<\frac{1}{2x+3}<1$

এখন, $-<\frac{1}{2x+3}$

বা, $2x+3<-1$

বা, $2x<-1-3$ [উভয়পক্ষে (-3) যোগ করে]

বা, $2x<-4$

বা, $x<-\frac{4}{2}$ [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]

$\therefore x<-2$

আবার, $\frac{1}{2x+3}<1$

বা, $2x+3>1$

বা, $2x>1-3$ [উভয়পক্ষ (-3) যোগ করে]

বা, $2x>-2$

বা, $x>-\frac{2}{2}$ [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]

$\therefore x>-1$

$\therefore x<-2$ অথবা $x>-1$ হলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে।

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, $S_{\infty }=\frac{a}{1-r}=\frac{\frac{1}{2x+3}}{1-\frac{1}{2x+3}}=\frac{\frac{1}{2x+3}}{\frac{2x+3-1}{2x+3}}$

$=\frac{1}{2x+3}\times \frac{2x+3}{2x+2}=\frac{1}{2x+2}=\frac{1}{2(x+1)}$

নির্ণেয় শর্ত : $x<-2$ অথবা $x>-1$ এবং সমষ্টি $\frac{1}{2(x+1)}$.